“胡不归模型”是中学数学，特别是中考中一个经典的几何最值问题模型。它通常用于解决形如 “PA + k·PB (0 < k < 1)” 这类线段加权和最小值的问题。
为了帮你快速理解，我用下面的表格总结其核心特征：
| 特征项 | 具体描述 |
|---|---|
| 模型本质 | 解决加权线段和最短的几何最值问题。 |
| 问题起源 | 源自一个年轻人因路径选择失误未能及时回家的古老传说。 |
| 核心条件 | 两定点、一动点，且动点在一条直线上运动。 |
| 典型形式 | 求 PA + k·PB 的最小值，其中k是一个大于0小于1的系数。 |
📜 模型起源：一个关于选择的传说
传说一个年轻人得知父亲病危，从A地出发直线穿越砂石地赶往B地的家中。但由于砂石地行走速度远慢于驿道，他虽然走了最短的直线路径，却没能见上父亲最后一面。
这个传说引出的数学思考是：时间 = 路程 ÷ 速度。如果能在较快的驿道（AC）上多走一段，再折向目的地（B），虽然总路程变长，但总时间可能更短。问题由此转化为：如何在直线AC上找到一点D，使得总时间 (AD/v₂ + DB/v₁) 最小（v₂>v₁）。
🔍 核心思路：化“折”为“直”
解决“胡不归”模型的核心思想是构造转换，将系数k·PB转化为一条新的线段，从而将“折线”问题转化为“点到直线垂线段最短”的问题。关键步骤如下：
- 构造特殊角：在系数不为1的线段（如PB）的定点（B）处，向动点（P）所在直线的另一侧，构造一个锐角（如∠α），使得 sinα = k。
- 作垂线转化：过动点P向构造角的另一边作垂线（如PD）。根据正弦定义，在直角三角形中，PD = PB · sinα = k·PB。这样，PA + k·PB 就转化为了 PA + PD。
- 利用垂线段最短：当A、P、D三点共线，且该连线垂直于构造角的另一边时，PA+PD（即PA+k·PB）的值最小，这个最小值就是点A到该边的垂线段长度。
📐 主要应用场景
🔗 了解相关模型
在几何最值问题家族中，除了“胡不归”，还有几个常见的兄弟模型：
- 将军饮马模型：解决不含系数的两线段和最短问题，核心是利用轴对称将两点转化到直线同侧。
- 阿氏圆模型：解决形如 “PA + k·PB” 的最值问题，但系数k>0，且动点P在一个圆上运动。
- 费马点模型：解决寻找一点，使其到三角形三个顶点距离之和最小的问题。
总结来说，“胡不归模型”是一个有深厚文化背景、解题思路巧妙的几何工具。掌握它关键在于理解其“系数转化、垂线段最短”的核心思想。
