中考数学求最值模型总结“胡不归模型”是中学数学，特别是中考中一个经典的几何最值问题模型。它通常用于解决形如 “PA +

“胡不归模型”是中学数学，特别是中考中一个经典的几何最值问题模型。它通常用于解决形如 “PA + k·PB (0 < k < 1)” 这类线段加权和最小值的问题。

为了帮你快速理解，我用下面的表格总结其核心特征：

特征项	具体描述
模型本质	解决加权线段和最短的几何最值问题。
问题起源	源自一个年轻人因路径选择失误未能及时回家的古老传说。
核心条件	两定点、一动点，且动点在一条直线上运动。
典型形式	求 PA + k·PB 的最小值，其中k是一个大于0小于1的系数。

传说一个年轻人得知父亲病危，从A地出发直线穿越砂石地赶往B地的家中。但由于砂石地行走速度远慢于驿道，他虽然走了最短的直线路径，却没能见上父亲最后一面。

这个传说引出的数学思考是：时间 = 路程 ÷ 速度。如果能在较快的驿道（AC）上多走一段，再折向目的地（B），虽然总路程变长，但总时间可能更短。问题由此转化为：如何在直线AC上找到一点D，使得总时间 (AD/v₂ + DB/v₁) 最小（v₂>v₁）。

解决“胡不归”模型的核心思想是构造转换，将系数k·PB转化为一条新的线段，从而将“折线”问题转化为“点到直线垂线段最短”的问题。关键步骤如下：

构造特殊角：在系数不为1的线段（如PB）的定点（B）处，向动点（P）所在直线的另一侧，构造一个锐角（如∠α），使得 sinα = k。
作垂线转化：过动点P向构造角的另一边作垂线（如PD）。根据正弦定义，在直角三角形中，PD = PB · sinα = k·PB。这样，PA + k·PB 就转化为了 PA + PD。
利用垂线段最短：当A、P、D三点共线，且该连线垂直于构造角的另一边时，PA+PD（即PA+k·PB）的值最小，这个最小值就是点A到该边的垂线段长度。

这个模型在中考中常作为压轴题出现，主要考查形式包括：

在几何最值问题家族中，除了“胡不归”，还有几个常见的兄弟模型：

总结来说，“胡不归模型”是一个有深厚文化背景、解题思路巧妙的几何工具。掌握它关键在于理解其“系数转化、垂线段最短”的核心思想。

阿氏圆

阿氏圆最值模型解题方法：

①计算PA+k·PB的最小值时，利用两边成比例且夹角相等，构造母子型相似三角形；
②两个三角形的相似比等于k；
③根据相似比，找出一条线段替换k·PB，转化成三点共线求最小值。

【例题】

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C为圆心，2为半径作圆C，交AC、BC于D、E两点，点P是圆C上一个动点，则1/2PA+PB的最小值为___ 。

分析：解这道题的关键在于转化1/2PA，这里P的轨迹是圆，半径为2，CA=4，连接CP，构造含有线段AP的△CPA 。

再取DC的中点F，连接PF。

可得：CF=1，CF : CP = CP : CA = 1 ：2，∠PCF是公共角；所以，

$\triangle PCF \sim \triangle PAC$

$\frac{ PF }{PA}$ = $\frac{PC}{CA}$ = $\frac{CF}{PC}$ = $\frac{1}{2}$

因此，这道题目就转化为求PF+PB的最小值。

显然，当点P、F、B三点共线的时候，PF+PB取得最小值，即为线段BF的长。

在直角三角形BCF中，BC=3, CF=1,根据勾股定理得：

BF = $\sqrt{3^2 + 1^2}$ = $\sqrt{10}$

1/2PA+PB的最小值为 $\sqrt{10}$