【计算机视觉】05_不变性本文探讨了特征检测在几何变换（如尺度变化）和光学变换下的稳定性问题，重点介绍了具有尺度不变性的

解决特征检测在几何变换（特别是尺度变化）和光学变换下的稳定性问题，重点介绍了如何检测具有尺度不变性的特征（即“团块”或 Blob）。

在讨论特征稳定性时，我们需要区分两个概念：

不变性 (Invariance)： 即使图像发生了变换，特征的属性（如位置、描述）保持不变。
等变性 (Equivariance)： 如果图像发生了变换，检测到的特征也应该在对应的位置上发生同样的变换（通常也被称为协变性）。 理想的目标： 我们希望角点位置对于光学变换（如光照）具有不变性，而对于几何变换（如移动、旋转）具有等变性。

结论： Harris 角点不具有尺度不变性。我们需要新的方法来寻找在缩放后依然稳定的特征。

为了解决尺度问题，我们需要找到一个特征尺度 (Characteristic Scale)，即能够使某个函数 $f$ 产生局部最大值的尺度。

课件引入了 LoG 算子 作为检测工具：

定义： 高斯函数的二阶导数（拉普拉斯算子 $\nabla^2 g$ ）。
形态： 类似于一个“墨西哥草帽”，中间是正峰值，周围是负值。
作用： LoG 算子可以作为团块（Blob）检测器。当 LoG 的零交叉点与圆形的边缘重合时，响应达到最大值。
中间凸起 (正值)： 对应团块的亮中心。
周围凹陷 (负值)： 对应团块周围的暗背景。
原理： 当你拿这顶“草帽”在图像上滑动时，如果正好盖住了一个**“亮斑点”**（Blob）：
- 中间的亮像素 $\times$ 草帽尖的正值 = 大正数。
- 周围的暗像素 $\times$ 草帽沿的负值 = 也是正数（负负得正）。
- 结果： 响应值瞬间爆表，达到最大。

如果你把这顶帽子盖在平坦区域或直边上，正负抵消，结果接近 0。所以，LoG 本质上就是一个专门为此形状设计的“模具”。

如何在不同尺度下比较 LoG 响应？

问题： 随着尺度 $\sigma$ 增加（高斯核变宽），二阶导数的响应幅值会下降（因为图像被平滑得更厉害）。
解决方案： 尺度归一化。
必须将 LoG 算子乘以方差 $\sigma^2$ 进行归一化。
归一化后的 LoG 能够消除尺度的影响，使得我们可以在尺度空间中寻找峰值。
特征尺度： 对于一个圆形的团块，当高斯函数的尺度 $\sigma$ 与团块的半径 $r$ 匹配时（理论上 $r = \sqrt{2}\sigma$ ），归一化 LoG 的响应达到最大值。这个对应的 $\sigma$ 就是该特征的特征尺度。

从数学公式上看，这种衰减是必然的。

一维高斯函数是：

$G(x, \sigma) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}}$

如果你对它求两次导数（计算 LoG），你会发现结果中包含一个系数，它与 $\frac{1}{\sigma^2}$ 成正比。

这意味着：

如果不做任何处理，LoG 的响应幅度会随着 $\sigma$ 的平方成反比下降。
这就导致了一个严重的问题：大尺度的 Blob（大斑点）永远竞争不过小尺度的 Blob。 哪怕那个大斑点真的很完美，但因为检测器（ $\sigma$ 大）本身的信号太弱，它也会被忽略。既然响应会随着 $\sigma^2$ 衰减，那我们就在计算完 LoG 之后，人为地乘回一个 $\sigma^2$ 。

归一化 LoG 公式：

$\text{Normalized LoG} = \sigma^2 \cdot (I * \text{LoG})$ 这样一来

小尺度 ( $\sigma$ 小)：原始响应大，但乘以一个小的 $\sigma^2$ ，结果适中。
大尺度 ( $\sigma$ 大)：原始响应小，但乘以一个大的 $\sigma^2$ ，被拉高了。结论：如果不乘这个 $\sigma^2$ ，响应确实会随 $\sigma$ 增大而减小（如 PPT 所示）；但为了在多尺度检测中公平地找到最大值，我们通常会使用归一化的高斯拉普拉斯算子。

我们将特征尺度定义为能够产生拉普拉斯响应峰值的尺度

【计算机视觉】05_不变性