给定一个包含非负整数的 m x n 网格 grid ，请找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。
说明： 一个机器人每次只能向下或者向右移动一步。
示例 1：
输入： grid = [[1,3,1],[1,5,1],[4,2,1]]
输出： 7
解释： 因为路径 1→3→1→1→1 的总和最小。
示例 2：
输入： grid = [[1,2,3],[4,5,6]]
输出： 12
核心是从网格左上角走到右下角（只能向右 / 向下走），求路径上数字之和的最小值 ，考虑动态规划算法。
动态规划算法的两个关键特征：
- 最优子结构：到达位置
(i,j)的最小路径和，只依赖于「到达上方(i-1,j)的最小路径和」和「到达左方(i,j-1)的最小路径和」（因为只能向右 / 向下走，没有其他来源）； - 无后效性：一旦算出
(i,j)的最小路径和，后续计算不会改变这个值（路径选择不回头）。
动态规划的核心思路（四步走）
步骤 1：定义状态（最关键的一步）
设 dp[i][j] 表示「从左上角 (0,0) 走到 (i,j) 的最小路径和」。目标就是求 dp[m-1][n-1]（m 是行数，n 是列数）。
步骤 2：推导状态转移方程
因为只能从「上方 (i-1,j)」或「左方 (i,j-1)」走到 (i,j)，所以：dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + grid[i][j]（走到 (i,j) 的最小和 = 上 / 左中更小的那个 + 当前格子的数值）
步骤 3：处理边界条件
- 第一行（
i=0）：只能从左边走过来，所以dp[0][j] = dp[0][j-1] + grid[0][j]； - 第一列（
j=0）：只能从上面走过来，所以dp[i][0] = dp[i-1][0] + grid[i][0]； - 起点（
0,0）：dp[0][0] = grid[0][0]（只有自己）。
步骤 4：确定遍历顺序
因为 dp[i][j] 依赖左 / 上的结果，所以按「从上到下、从左到右」遍历网格即可。
代码实现：
1.基础 DP（易理解，用二维数组）
class Solution {
public:
int minPathSum(vector<vector<int>>& grid) {
if (grid.empty() || grid[0].empty()) return 0;
int m = grid.size(), n = grid[0].size();
// 定义dp数组，和网格同大小
vector<vector<int>> dp(m, vector<int>(n, 0));
// 初始化起点
dp[0][0] = grid[0][0];
// 初始化第一列（只能从上到下）
for (int i = 1; i < m; ++i) {
dp[i][0] = dp[i-1][0] + grid[i][0];
}
// 初始化第一行（只能从左到右）
for (int j = 1; j < n; ++j) {
dp[0][j] = dp[0][j-1] + grid[0][j];
}
// 遍历网格，填充dp数组
for (int i = 1; i < m; ++i) {
for (int j = 1; j < n; ++j) {
dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + grid[i][j];
}
}
return dp[m-1][n-1];
}
};
2.空间优化（进阶，O (1) 额外空间）
观察发现：dp[i][j] 只依赖左 / 上的值，且可以直接在原网格上修改（覆盖），无需额外 dp 数组：
class Solution {
public:
int minPathSum(vector<vector<int>>& grid) {
if (grid.empty() || grid[0].empty()) return 0;
int m = grid.size(), n = grid[0].size();
// 初始化第一列
for (int i = 1; i < m; ++i) {
grid[i][0] += grid[i-1][0];
}
// 初始化第一行
for (int j = 1; j < n; ++j) {
grid[0][j] += grid[0][j-1];
}
// 直接在原数组上计算
for (int i = 1; i < m; ++i) {
for (int j = 1; j < n; ++j) {
grid[i][j] += min(grid[i-1][j], grid[i][j-1]);
}
}
return grid[m-1][n-1];
}
};
以后遇到类似的「网格路径 + 最值」问题，按这个流程想：
- 看移动规则：能走哪些方向（本题只有右 / 下）→ 确定状态转移的来源；
- 定义状态：
dp[i][j]表示 “到(i,j)的目标值（和 / 步数 / 数量）”； - 推转移方程：从来源中选最优（min/max）+ 当前值；
- 处理边界：第一行 / 第一列（只能单方向走）。
