算法入门必看：递归、记忆化搜索与动态规划的完整拆解
前言
在刚接触算法时，我对递归、记忆化、动态规划这几个词一直有点混乱：
它们看起来很像，却又总是被分开讲；有时候觉得“我好像懂了”，一到做题却又不知道该用哪一个。
后来我才慢慢意识到：它们并不是三套割裂的技巧，而是同一类问题在不同阶段的解决方式。
这篇文章就按照我自己的理解过程，用最常见的例子，把这条演进路径完整走一遍。
一、为什么要掌握递归与动态规划
可以把解题过程想成拼一幅复杂的拼图：
- 递归：先把整幅图拆成很多小块，一次只专注解决一小块；
- 记忆化：发现有些小块会反复出现，于是给已经拼好的部分贴上标签，下次直接用；
- 动态规划（DP） ：干脆把这些小块按顺序摆好，从最简单的开始，一块一块往上拼。
当一个问题同时出现：
- 答案可以由更小规模的问题推导出来
- 中间结果会被反复计算
那它基本就在向你暗示：这题值得往动态规划方向去想。
二、递归入门：阶乘——递归的第一课
阶乘是我第一次真正“理解递归”的例子。
阶乘天然具有自相似结构：
n! = n × (n - 1)!
只要不断把问题规模缩小，最终一定会落到一个可以直接返回结果的情况。
function mul(n) {
if (n === 1) return 1
return n * mul(n - 1)
}
console.log(mul(6)) // 720
这里发生了什么？
- 递推关系：
mul(n) = n * mul(n - 1) - 终止条件：
n === 1 - 特点：每一层递归只计算一次，不存在重复子问题
所以在这个例子里，递归既直观又高效，非常合适。
三、递归的代价：斐波那契（Fibonacci）与重复计算的陷阱
递归真正的问题，往往出现在有重叠子问题的时候。
斐波那契数列定义如下：
f(n) = f(n - 1) + f(n - 2)
朴素递归实现
function fib(n) {
if (n === 1 || n === 2) return 1
return fib(n - 1) + fib(n - 2)
}
console.log(fib(10)) // 55
为什么它低效？
随着 n 变大，递归会不断向下分叉，
同一个 fib(k) 会在不同分支中被反复计算。
结果是：看起来在拆问题，实际上在不停地重复劳动
时间复杂度接近指数级，n 稍微大一点就完全不可用。
四、记忆化与动态规划：爬楼梯（LeetCode 70）的三种思路
爬楼梯问题是我理解这三种思想关系的关键。
题意：
每次可以爬 1 或 2 阶，问到第 n 阶有多少种走法。
递推关系：
f(n) = f(n - 1) + f(n - 2)
本质上就是斐波那契的变体。
4.1朴素递归（不推荐）
代码很直观，但和斐波那契一样，会产生大量重复计算。
适合用来想清楚问题，不适合最终提交。
4.2记忆化递归（Top-down + cache）
在递归的基础上加一个缓存，把算过的结果存起来，下次直接取。
优点：
- 思路接近递归，容易验证正确性
- 解决了重复计算的问题
这一步，往往是**从“能跑”到“跑得动”**的关键过渡。
4.3动态规划（Bottom-up，推荐）
直接从最小子问题开始，一步步迭代构建答案。
var climbStairs = function(n) {
if (n === 1) return 1
const f = []
f[1] = 1
f[2] = 2
for (let i = 3; i <= n; i++) {
f[i] = f[i - 1] + f[i - 2]
}
return f[n]
}
console.log(climbStairs(5)) // 8
空间优化（滚动变量，O(1) 空间） ：
var climbStairs = function(n) {
if (n === 1) return 1
let a = 1, b = 2 // f(1), f(2)
for (let i = 3; i <= n; i++) {
const c = a + b
a = b
b = c
}
return b
}
这里本质上是在说：
当前状态只依赖前两个状态，那就没必要存整个数组。
总结
回过头看，递归、记忆化搜索与动态规划并不是彼此竞争的解法，而是一条逐步演进的学习路径：
递归让我们看清问题的结构；
记忆化让递归变得高效；
动态规划则把这种高效方式系统化、工程化。
在做题时，与其一开始就强行“套 DP 模板”，不如先写出递归，明确状态和边界，再判断是否存在重复子问题，最后自然过渡到动态规划。
一旦掌握这条思考路径，你会发现：无论是爬楼梯，还是更复杂的 DP 题目，真正难的从来不是代码，而是如何拆问题。
