【微积分】1.1——极限及其运算（一）微积分从0到1。文章是基于托马斯微积分中文第十版做的笔记，严格概念会引用同济版高等

文章是基于托马斯微积分中文第十版做的笔记，严格概念会引用同济版高等数学的表述。过于简单的知识就一句带过或者省略

极限

先来看函数极限的公式

\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=L

这里的 $x_0$ 是一个常数，但是这就引申出一个问题，假设 $\Delta x=\vert x-x_0\vert$ ， $\Delta x$ 得多小才符合上面的式子求出 $L$ ，另外要问的是 $\Delta x$ 是否就等于0。为了严谨的定义极限，就有了 $\varepsilon — \delta$ 语言，以下是函数极限的正式定义。

定义1 函数某点的极限

设 $f(x)$ 定义在 $x_0$ 的一个可能不包括 $x_0$ 的开区间上，我们说 $x$ 趋于 $x_0$ 时 $f(x)$ 趋于极限 $L$ ，并记为
$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=L$
如果，对任何数 $\varepsilon>0$ ，存在对应的数 $\delta>0$ 使得对所有满足 $0<\vert x-x_0\vert<\delta$ 的 $x$ ,有
$\vert f(x)-L\vert<\varepsilon$

对于上述的定义十分的抽象晦涩，那我们用高中导数部分的 $\Delta x$ 和 $\Delta y$ 来分别换掉 $\vert x-x_0\vert$ 和 $\vert f(x)-L\vert$ 时，虽然它并不准确，但能帮助我们理解，表述如下：

\forall\varepsilon>0，\exists\delta>0，当0<\Delta x<\delta时，有\Delta y<\varepsilon

简单的说，也就是 $y$ 轴上变化任意小量时，总能找到对应的 $\delta$ 邻域 $(x_0-\delta,x_0+\delta)$ 存在。

极限的存在

极限有可能不存在，什么情况下才会不存在呢，直接给出结论，以下三种情况不存在：

函数跳跃:分段函数的情况，左极限不等于右极限。
函数无限增大:在某点趋于无穷，比如说反比例函数在0处趋于无穷。
函数无限振动。

极限的运算

正常求极限非常简单，只要把 $x_0$ 代入函数即可。当然极限也有运算法则。

定理1 极限法则

如果 $L，M，c$ 和 $k$ 都是实数，且

\lim\limits_{x\to c}f(x)=L 和 \lim\limits_{x\to c}g(x)=M,那么

有：

和法则： $\lim\limits_{x\to c}(f(x)+g(x))=L+M$
差法则： $\lim\limits_{x \to c} (f(x) - g(x)) = L - M$
积法则： $\lim\limits_{x \to c} (f(x) \cdot g(x)) = L \cdot M$
乘常数法则： $\lim\limits_{x \to c} (k \cdot f(x)) = k \cdot L$
商法则： $\lim\limits_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M}, \quad M \neq 0$
幂法则：如果 $r$ 和 $s$ 都是整数， $s \neq 0$ ，那么

\lim_{x \to c} (f(x))^{\frac{r}{s}} = L^{\frac{r}{s}}

(注：若 $s$ 是偶数，则假设 $L > 0$ )

定理2 可用代入法求多项式的极限

如果 $P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_0$ ，那么：

\lim_{x \to c} P(x) = P(c) = a_n c^n + a_{n-1} c^{n-1} + \dots + a_0

定理3 可用代入法求有理函数的极限，当分母的极限不等于零

如果 $P(x)$ 和 $Q(x)$ 都是多项式且 $Q(c) \neq 0$ ，那么：

\lim_{x \to c} \frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{P(c)}{Q(c)}

定理 4 三明治（夹逼）定理

假设在包含 $c$ 在内的某个开区间中除 $x = c$ 外所有的 $x$ ，有 $g(x) \le f(x) \le h(x)$ 。又假设：

\lim_{x \to c} g(x) = \lim_{x \to c} h(x) = L

那么 $\lim\limits_{x\to c}f(x)=L$ 。

练习 1.1

$\lim\limits_{x \to -3} (x^2 - 13)$
$\lim\limits_{x \to 2} (-x^2 + 5x - 2)$
$\lim\limits_{t \to 6} 8(t - 5)(t - 7)$
$\lim\limits_{x \to -2} (x^3 - 2x^2 + 4x + 8)$
$\lim\limits_{x \to 2} \frac{2x + 5}{11 - x^3}$
$\lim\limits_{s \to \frac{2}{3}} (8 - 3s)(2s - 1)$
$\lim\limits_{x \to -\frac{1}{2}} 4x(3x + 4)^2$
$\lim\limits_{y \to 2} \frac{y + 2}{y^2 + 5y + 6}$
$\lim\limits_{y \to -3} (5 - y)^{\frac{4}{3}}$
$\lim\limits_{z \to 4} \sqrt{z^2 - 10}$
$\lim\limits_{h \to 0} \frac{3}{\sqrt{3h + 1} + 1}$
$\lim\limits_{h \to 0} \frac{\sqrt{5h + 4} - 2}{h}$
不等式

1 - \frac{x^2}{6} < \frac{x \sin x}{2 - 2\cos x} < 1

对所有接近 $0$ 的 $x$ 成立。求：

\lim_{x \to 0} \frac{x \sin x}{2 - 2\cos x}

不等式

\frac{1}{2} - \frac{x^2}{24} < \frac{1 - \cos x}{x^2} < \frac{1}{2}

对接近零的 $x$ 值成立。求：

\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}