树与二叉树：从概念到遍历的全面解析

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树与二叉树：从概念到遍历的全面解析

在计算机科学中，树（Tree） 是一种极其重要的非线性数据结构，广泛应用于文件系统、数据库索引、编译器语法分析、人工智能决策树等领域。本文将系统地介绍树的基本概念、二叉树的定义与特性，并深入讲解四种核心遍历方式——前序、中序、后序和层序遍历，辅以 JavaScript 代码实现，帮助读者建立清晰而完整的知识体系。

一、什么是树？

自然界中的树有根、枝、叶；数据结构中的树正是对这一结构的抽象：

  • 根节点（Root） ：整棵树的起点，有且仅有一个。
  • 边（Edge） ：连接两个节点的线段，表示父子关系。
  • 节点（Node） ：树的基本单元，包含数据和指向子节点的引用。
  • 叶子节点（Leaf） ：没有子节点的节点，即“末端”。

树的核心属性

  1. 层次（Level）
    根节点位于第 1 层，其子节点为第 2 层，依此类推。

  2. 高度（Height）
    通常指从根节点到最远叶子节点的最长路径上的边数（也有定义为节点数）。例如，单个节点的树高度为 0 或 1，取决于定义方式。

  3. 度（Degree）
    一个节点的子节点数量称为该节点的度。整棵树的度是所有节点中最大的度。

    • 叶子节点的度为 0。
    • 度为 2 的节点有两个子节点。

⚠️ 注意：树 ≠ 所有节点度都为 2！这是常见误区。

二、二叉树：递归定义的典范

二叉树（Binary Tree） 是树的一种特殊形式，具有严格的结构约束：

定义（递归） ：

  • 空树是一棵二叉树；
  • 非空二叉树由一个根节点、一个左子树和一个右子树组成，且左右子树本身也必须是二叉树。

关键特性

  • 左右子树有严格顺序：左 ≠ 右，交换会改变树的结构。
  • 每个节点最多有两个子节点（左、右），但可以只有左、只有右，或都没有。
  • 不是所有度为 2 的树都是二叉树——二叉树强调“左右”之分，而普通树只关心子节点数量。

节点结构（JavaScript 表示）

class TreeNode {
    constructor(val) {
        this.val = val;
        this.left = null;
        this.right = null;
    }
}

也可以用对象字面量简洁表达：

const tree = {
    val: 1,
    left: { val: 2, left: { val: 4 }, right: { val: 5 } },
    right: { val: 3 }
};

这种方式直观、可读性强，常用于前端或算法题中的树表示。

三、二叉树的遍历：访问的艺术

遍历（Traversal）是指按某种顺序访问树中所有节点。由于树是非线性的，遍历方式决定了处理逻辑的顺序。

1. 深度优先遍历（DFS）——基于递归

深度优先遍历利用函数调用栈隐式实现，天然契合树的递归结构。

（1）前序遍历（Preorder）：根 → 左 → 右
  • 应用场景：复制树、打印目录结构（先打印当前目录名）
function preorder(root) {
    if (!root) return;
    console.log(root.val);     // 访问根
    preorder(root.left);       // 遍历左子树
    preorder(root.right);      // 遍历右子树
}
（2）中序遍历（Inorder）：左 → 根 → 右
  • 应用场景：二叉搜索树（BST）的中序遍历结果是升序序列
function inorder(root) {
    if (!root) return;
    inorder(root.left);
    console.log(root.val);     // 访问根
    inorder(root.right);
}
（3）后序遍历（Postorder）：左 → 右 → 根
  • 应用场景：删除树（先删子节点再删父节点）、计算目录大小
function postorder(root) {
    if (!root) return;
    postorder(root.left);
    postorder(root.right);
    console.log(root.val);     // 访问根
}

✅ 记忆口诀：
“前中后”指的是根节点被访问的时机，左右子树顺序始终不变。

2. 广度优先遍历（BFS）——层序遍历（Level Order）

层序遍历按树的层级从上到下、每层从左到右访问节点，需借助队列（Queue） 实现。

实现原理
  • 初始将根节点入队；
  • 循环出队一个节点，访问它，并将其非空子节点（先左后右）入队；
  • 直到队列为空。
function levelorder(root) {
    if (!root) return [];
    const result = [];
    const queue = [root];
    
    while (queue.length) {
        const node = queue.shift();      // 出队（FIFO）
        result.push(node.val);           // 访问
        if (node.left) queue.push(node.left);
        if (node.right) queue.push(node.right);
    }
    return result;
}
  • 时间复杂度：O(n)，每个节点访问一次。
  • 空间复杂度：O(w)，w 为树的最大宽度（队列最大长度）。

四、递归与树：天生一对

树的定义本身就是递归的，因此：

  • 递归是处理树问题的首选方法；

  • 所有深度优先遍历本质上都是递归；

  • 递归的关键在于：

    1. 明确子问题（左子树、右子树）；
    2. 设置终止条件（if (!root) return）。

五、总结

特性说明
树非线性结构，一个根，多分支，有层次
二叉树每个节点最多两个子节点，左右顺序不可交换
前序根→左→右，适合“先处理自身”场景
中序左→根→右，BST 中得有序序列
后序左→右→根，适合“先处理子节点”场景
层序按层遍历，需队列，体现广度优先

掌握树与二叉树的核心概念及遍历方法，是理解更高级数据结构（如堆、AVL 树、红黑树、B 树）和算法（如 DFS/BFS、动态规划树形 DP）的基础。无论是面试还是实际开发，这些知识都不可或缺。

🌳 记住：树的本质是递归，遍历的灵魂是顺序。

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