如何证明使用补码时，先取反再加一，就能得到对应的相反数？

背景

对使用 $N$ 位补码表示的 $x$ ($x$ 是满足 $-2^{N-1}\le x\le 2^{N-1}-1$ 的整数)而言，如果依次进行如下两步操作

1. 令 $y=\sim{x}$ （这里的 $\sim$ 表示按位取反）
2. 令 $z=y+1$ （这里的 $+$ 是 $N$ 位无符号数的加法）

那么得到的 $z$ 满足

• $z=-x$ (如果$x\ne -2^{N-1}$)
• $z=x$ (如果 $x=-2^{N-1}$)

本文会对此进行证明。

正文

补码和模运算

运用 模 $N$ 运算($N$ 是正整数)，我们可以将所有整数划分成 $N$ 个等价类。以 $N=16$ 为例，我们可以按照 $x \bmod 16$ 的结果把整数划分为如下 $16$ 个等价类。

• 等价类 $0$: 如果 $x \bmod 16 = 0$，则 $x$ 属于这个等价类
• 等价类 $1$: 如果 $x \bmod 16 = 1$，则 $x$ 属于这个等价类
• 等价类 $2$: 如果 $x \bmod 16 = 2$，则 $x$ 属于这个等价类
• 等价类 $3$: 如果 $x \bmod 16 = 3$，则 $x$ 属于这个等价类
• 等价类 $4$: 如果 $x \bmod 16 = 4$，则 $x$ 属于这个等价类
• 等价类 $5$: 如果 $x \bmod 16 = 5$，则 $x$ 属于这个等价类
• 等价类 $6$: 如果 $x \bmod 16 = 6$，则 $x$ 属于这个等价类
• 等价类 $7$: 如果 $x \bmod 16 = 7$，则 $x$ 属于这个等价类
• 等价类 $8$: 如果 $x \bmod 16 = 8$，则 $x$ 属于这个等价类
• 等价类 $9$: 如果 $x \bmod 16 = 9$，则 $x$ 属于这个等价类
• 等价类 $10$: 如果 $x \bmod 16 = 10$，则 $x$ 属于这个等价类
• 等价类 $11$: 如果 $x \bmod 16 = 11$，则 $x$ 属于这个等价类
• 等价类 $12$: 如果 $x \bmod 16 = 12$，则 $x$ 属于这个等价类
• 等价类 $13$: 如果 $x \bmod 16 = 13$，则 $x$ 属于这个等价类
• 等价类 $14$: 如果 $x \bmod 16 = 14$，则 $x$ 属于这个等价类
• 等价类 $15$: 如果 $x \bmod 16 = 15$，则 $x$ 属于这个等价类

我在下图中将这 $16$ 个等价类用 $2$ 进制表示。

我们可以从这 $16$ 个等价类中分别选择一个元素作为代表。一个简单的做法是，选择这个等价类中绝对值最小的非负数，即 $0,1,2,3,\cdots,15$ 作为代表。为了便于叙述，我们将这种做法称为 $Solution_1$。而补码运算的选择与之不同，我们把补码运算从等价类中选择数字的方式称为 $Solution_2$。$Solution_1$ 和 $Solution_2$ 的对比如下表所示 ⬇️

模 $16$ 运算中的等价类	$Solution_1$	$Solution_2$ (补码运算的选择)	$Solution_1$ 和 $Solution_2$ 的选择相同吗？
$0000$	$0$	$0$	✅
$0001$	$1$	$1$	✅
$0010$	$2$	$2$	✅
$0011$	$3$	$3$	✅
$0100$	$4$	$4$	✅
$0101$	$5$	$5$	✅
$0110$	$6$	$6$	✅
$0111$	$7$	$7$	✅
$1000$	$8$	$-8$	❌
$1001$	$9$	$-7$	❌
$1010$	$10$	$-6$	❌
$1011$	$11$	$-5$	❌
$1100$	$12$	$-4$	❌
$1101$	$13$	$-3$	❌
$1110$	$14$	$-2$	❌
$1111$	$15$	$-1$	❌

所以，对一个 $N$ 位 $2$ 进制数 $x$ 而言，

• 当它的最高位(即 MSB, Most Significant Bit)是 $1$ 时
  • 如果我们分别把 $x$ 看成 无符号数 $x_u$ 和 补码 $x_c$，那么 $x_c=x_u-2^N$
• 当它的最高位是 $0$ 时
  • 如果我们分别把 $x$ 看成 无符号数 $x_u$ 和 补码 $x_c$，那么 $x_c=x_u$

本文在举例时，均以 $N=4$ 来进行说明。我们以 $N=4$ 为例，看一看将各个 $2$ 进制数视为 无符号数 和 补码 时的值是怎样的 ⬇️

$4$ 位 $2$ 进制数 $x$	将其视为无符号数时的值 $x_u$	将其视为补码时的值 $x_c$	$x_u \to x_c$ 的计算过程 ($x$ 最高位为 $0$ 时， $x_u=x_c$ 总成立， 转化过程略)
$0000$	$0$	$0$
$0001$	$1$	$1$
$0010$	$2$	$2$
$0011$	$3$	$3$
$0100$	$4$	$4$
$0101$	$5$	$5$
$0110$	$6$	$6$
$0111$	$7$	$7$
$1000$	$8$	$-8$	$8-16=-8$
$1001$	$9$	$-7$	$9-16=-7$
$1010$	$10$	$-6$	$10-16=-6$
$1011$	$11$	$-5$	$11-16=-5$
$1100$	$12$	$-4$	$12-16=-4$
$1101$	$13$	$-3$	$13-16=-3$
$1110$	$14$	$-2$	$14-16=-2$
$1111$	$15$	$-1$	$15-16=-1$

证明

我们可以把 $x$ 的值分为 $2$ 类 ⬇️

• 非负数: $0\le x\le 2^{N-1}-1$
• 负数: $-2^{N-1}\le x\le -1$

情形 $1$: 当 $0\le x\lt 2^{N-1}$ 时

因为 $x=0$ 的情况比较特殊，我们把它单独列出来，于是 $0\le x\lt 2^{N-1}$ 可以细分为两种情形

• $x=0$
• $1\le x\le 2^{N-1} - 1$

情形 $1.1$ 当 $x=0$ 时

步骤	写成 $N$ 位 $2$ 进制数	将 $2$ 进制数视为无符号数时的值 $x_u,y_u,z_u$	将 $2$ 进制数视为补码时的值 $x_c,y_c,z_c$	$x_u\to x_c$ $y_u\to y_c$ $z_u\to z_c$ 是如何计算的
初始值 $x$	$x:\underbrace{00\cdots 0}_{n\rm\ times}^{\text{N bit}}$	$x_u=0$	$x_c=0$	$x_c=x_u=0$
取反 得到 $y$	$y:\underbrace{11\cdots 1}_{n\rm\ times}^{\text{N bit}}$	$y_u=2^N-1$	$y_c=-1$	$(2^N-1)-2^N=-1$
加一 得到 $z$	$z:\underbrace{00\cdots 0}_{n\rm\ times}^{\text{N bit}}$	$z_u=0$	$z_c=0$	$z_c=z_u=0$

以 $N=4$ 为例，取反和加一的过程如下图所示

情形 $1.2$ 当 $1\le x\le 2^{N-1}-1$ 时

因为

所以

所以 $y$ 对应的 $N$ 位 $2$ 进制数的最高位是 $1$ ⬇️ ($\cdots$ 表示这里不关心那些位的值)

而 $z=y+1$，所以

所以 $z$ 对应 $N$ 位 $2$ 进制数的最高位是 $1$ ⬇️ ($\cdots$ 表示这里不关心那些位的值)

$z$ 对应的补码 $z_c$ 所表示的值满足

当 $1\le x\le 2^{N-1}-1$ 时，计算步骤可以汇总成如下的表格 ⬇️

步骤	写成 $N$ 位 $2$ 进制数	将 $2$ 进制数视为无符号数时的值 $x_u,y_u,z_u$	将 $2$ 进制数视为补码时的值 $x_c,y_c,z_c$	$x_u\to x_c$ $y_u\to y_c$ $z_u\to z_c$ 是如何计算的
初始值 $x$	$x:0\underbrace{\cdots}_{n\rm\ times}^{\text{N-1 bit}}$	$x_u=x$	$x_c=x$	$x_c=x_u=x$
取反 得到 $y$	$y:1\underbrace{\cdots}_{n\rm\ times}^{\text{N-1 bit}}$	$y_u=(2^N-1)-x$	$y_c=-1-x$	$(2^N-1)-x-2^N=-1-x$
加一 得到 $z$	$z:1\underbrace{\cdots}_{n\rm\ times}^{\text{N-1 bit}}$	$z_u=2^N-x$	$z_c=-x$	$2^N-x-2^N=-x$

以 $N=4,x=5$ 为例，取反和加一的过程如下图所示

情形 $2$: 当 $-2^{N-1}\le x\le -1$ 时

因为 $x=-2^{N-1}$ 的情况比较特殊，我们把它单独列出来，于是 $-2^{N-1}\le x\le -1$ 可以细分为两种情形

• $x=-2^{N-1}$
• $-2^{N-1}\lt x\le - 1$

情形 $2.1$ 当 $x=-2^{N-1}$ 时

步骤	写成 $N$ 位 $2$ 进制数	将 $2$ 进制数视为无符号数时的值 $x_u,y_u,z_u$	将 $2$ 进制数视为补码时的值 $x_c,y_c,z_c$	$x_u\to x_c$ $y_u\to y_c$ $z_u\to z_c$ 是如何计算的
初始值 $x$	$x:1\underbrace{0\cdots 0}_{n\rm\ times}^{\text{N-1 bit}}$	$x_u=2^{N-1}$	$x_c=-2^{N-1}$	$2^{N-1}-2^N=-2^{N-1}$
取反 得到 $y$	$y:0\underbrace{1\cdots 1}_{n\rm\ times}^{\text{N-1 bit}}$	$y_u=2^{N-1}-1$	$y_c=2^{N-1}-1$	$y_c=y_u=y$
加一 得到 $z$	$z:1\underbrace{0\cdots 0}_{n\rm\ times}^{\text{N-1 bit}}$	$z_u=2^{N-1}$	$z_c=-2^{N-1}$	$2^{N-1}-2^N=-2^{N-1}$

以 $N=4$ 为例，取反和加一的过程如下图所示

情形 $2.2$ 当 $-2^{N-1}\lt x\le - 1$ 时

因为

所以

所以 $y$ 对应的 $N$ 位 $2$ 进制数的最高位是 $0$ ⬇️ ($\cdots$ 表示这里不关心那些位的值)

而 $z=y+1$，所以

所以 $z$ 对应 $N$ 位 $2$ 进制数的最高位是 $1$ ⬇️ ($\cdots$ 表示这里不关心那些位的值)

$z$ 对应的补码 $z_c$ 所表示的值满足

当 $-2^{N-1}\lt x\le - 1$ 时，计算步骤可以汇总成如下的表格 ⬇️

当 $1\le x\le 2^{N-1}-1$ 时，计算步骤可以汇总成如下的表格 ⬇️

步骤	写成 $N$ 位 $2$ 进制数	将 $2$ 进制数视为无符号数时的值 $x_u,y_u,z_u$	将 $2$ 进制数视为补码时的值 $x_c,y_c,z_c$	$x_u\to x_c$ $y_u\to y_c$ $z_u\to z_c$ 是如何计算的
初始值 $x$	$x:1\underbrace{\cdots}_{n\rm\ times}^{\text{N-1 bit}}$	$x_u=x+2^N$	$x_c=x$	$(x+2^N)-2^N=x$
取反 变为 $y$	$y:0\underbrace{\cdots}_{n\rm\ times}^{\text{N-1 bit}}$	$-y_u=x-1$	$y_c=-x-1$	$y_c=y_u=y$
加一 变为 $z$	$z:0\underbrace{\cdots}_{n\rm\ times}^{\text{N-1 bit}}$	$z_u=2^N-x$	$z_c=-x$	$2^N-x-2^N=-x$

以 $N=4,x=-3$ 为例，取反和加一的过程如下图所示

其他

文中展示取反和加一的过程的图是如何画出来的。我是 mermaid.live/ 上画图的。其中一张图的代码如下 ⬇️ （其他图的代码也是类似的，就不赘述了）

block
    block
        columns 5
        header0["步骤 ⬇️"] name1["carry"] name0["bits"] u["当成无符号数"] c["当成补码"]

        header1["(初始)"] carry0["0"] value0["1101"] u0["13"] c0["-3"]
        header2["取反"] carry1["0"] value1["0010"] u1["2"] c1["2"]
        header3["加一"] carry2["0"] value2["0011"] u2["3"] c2["3"]
    end

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参考资料

• Block Diagrams Documentation