有序数组合并：从双指针到空间优化的算法艺术有序数组合并：从双指针到空间优化的算法艺术在算法世界中， “合并两个有序数组

有序数组合并：从双指针到空间优化的算法艺术

在算法世界中， “合并两个有序数组” 是一道经典而富有启发性的问题。它不仅考察对数组操作的理解，更体现了算法设计中对 时间复杂度 与 空间复杂度 的权衡智慧。本文将深入剖析该问题的两种解法，并以此为切入点，系统讲解如何评价一个算法的优劣。

问题描述

给定两个非递减顺序排列的整数数组 nums1 和 nums2，以及它们的有效元素个数 m 和 n。
要求：将 nums2 合并到 nums1 中，使 nums1 成为一个包含 m + n 个元素的有序数组。

⚠️ 注意：nums1 的长度实际为 m + n，后 n 个位置预留为空（通常为 0），用于容纳 nums2 的元素。

解法一：从前向后 —— 简单但低效

最直观的想法是使用双指针从前向后遍历：

指针 i 指向 nums1[0]
指针 j 指向 nums2[0]
比较 nums1[i] 与 nums2[j]，将较小者放入新数组
最终将新数组拷贝回 nums1

function mergeSimple(nums1, m, nums2, n) {
    let i = 0, j = 0;
    const merged = [];
    
    while (i < m && j < n) {
        if (nums1[i] <= nums2[j]) {
            merged.push(nums1[i++]);
        } else {
            merged.push(nums2[j++]);
        }
    }
    
    // 处理剩余元素
    while (i < m) merged.push(nums1[i++]);
    while (j < n) merged.push(nums2[j++]);
    
    // 拷贝回 nums1
    for (let k = 0; k < m + n; k++) {
        nums1[k] = merged[k];
    }
}

复杂度分析

时间复杂度：O(m + n)
每个元素仅被访问一次。
空间复杂度：O(m + n)
需要额外数组 merged 存储结果。

❌ 缺陷：浪费了 nums1 末尾预留的空间，且违反题目“原地修改”的隐含要求。

解法二：从后向前 —— 空间最优解

观察发现：nums1 末尾有 n 个空位，不会被覆盖。因此，我们可以从后往前填充，避免数据覆盖问题。

三指针策略

i = m - 1：指向 nums1 有效部分的最后一个元素
j = n - 1：指向 nums2 的最后一个元素
k = m + n - 1：指向 nums1 的最后一个位置（待填）

每次比较 nums1[i] 与 nums2[j]，将较大者放入 nums1[k]，然后移动对应指针。

function merge(nums1, m, nums2, n) {
    let i = m - 1;
    let j = n - 1;
    let k = m + n - 1;

    while (i >= 0 && j >= 0) {
        if (nums1[i] > nums2[j]) {
            nums1[k] = nums1[i];
            i--;
        } else {
            nums1[k] = nums2[j];
            j--;
        }
        k--;
    }

    // 若 nums2 还有剩余，全部复制过去
    while (j >= 0) {
        nums1[k] = nums2[j];
        j--;
        k--;
    }
    // 注意：若 nums1 有剩余，无需操作，已在正确位置
}

为什么不需要处理 `nums1` 剩余？

因为 nums1 的剩余元素本就在 nums1 的前部，且目标位置就是当前位置，无需移动。

算法评价：时间与空间复杂度

什么是时间复杂度？

时间复杂度描述算法执行时间随输入规模增长的趋势，用大 O 表示法（Big O Notation）表示。

不关注具体常数或低阶项，只抓主导项
例如：T(n) = 3n + 5 → O(n)

常见时间复杂度（由优到劣）：

O(1) < O(log n) < O(n) < O(n log n) < O(n²) < O(2ⁿ)

什么是空间复杂度？

空间复杂度衡量算法运行过程中临时占用的额外存储空间。

输入参数本身不计入（如 nums1, nums2）
只计算额外申请的变量或数据结构

本题两种解法对比

解法	时间复杂度	空间复杂度	是否原地
前向合并	O(m + n)	O(m + n)	❌
后向合并（推荐）	O(m + n)	O(1)	✅

✅ 后向合并是本题的最优解：线性时间 + 常数空间。

为什么这个优化如此重要？

在实际工程中：

内存是宝贵资源，尤其在嵌入式、移动端或大规模数据处理场景
原地操作可避免内存分配与拷贝开销，提升性能
面试中，能否想到“从后往前”体现了对数据结构特性的深刻理解

总结：算法思维的核心

观察数据特性：有序 + 末尾预留空间 → 启发从后向前
权衡时空复杂度：在满足时间要求下，尽可能降低空间开销
边界条件处理：nums2 有剩余需处理，nums1 则不用
代码简洁性：最优解往往逻辑清晰、代码简短

🧠 启示：优秀的算法不是“写得复杂”，而是“想得透彻”。

通过这道看似简单的题目，我们不仅掌握了双指针技巧，更深入理解了如何科学评价和优化算法。这正是算法训练的真正价值所在。

延伸思考：

如果两个数组都不可修改，如何合并？
若数组无序，先排序再合并是否最优？（提示：考虑 O((m+n) log(m+n)) vs O(m log m + n log n + m + n)）

掌握这些思维，你离写出高效、优雅的代码又近了一步！

有序数组合并：从双指针到空间优化的算法艺术