从“爬楼梯”到“记忆术”：深入浅出理解斐波那契数列与递归优化
人生就像爬楼梯，每一步都建立在前两步的基础上。
你是否曾想过，一个看似简单的数学问题，竟能揭示程序设计中深刻的哲学？今天，我们就从一个耳熟能详的数列——509. 斐波那契数 - 力扣（LeetCode）出发，揭开递归、重复计算和缓存优化背后的秘密。无论你是编程新手，还是对算法心生畏惧的小白，这篇文章都会用生活中的比喻和清晰的逻辑，带你轻松穿越这道“算法之门”。
一、什么是斐波那契数列？
斐波那契数列（Fibonacci Sequence）是一个经典的整数序列：
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...
它的规则非常简单：
- 第0项是
0 - 第1项是
1 - 从第2项开始，每一项都等于前两项之和
用数学公式表示就是：
f(0) = 0
f(1) = 1
f(n) = f(n-1) + f(n-2) （当 n ≥ 2）
这个数列最早由意大利数学家斐波那契提出，用来描述兔子繁殖的理想模型。但如今，它早已超越生物学，成为计算机科学中最常被引用的例子之一。
二、最朴素的想法：递归实现
想象一下，你要计算第10级台阶的高度，而你只知道：每一级台阶的高度等于前两级之和。你会怎么做？
很自然地，你会想：“那我就先算第9级和第8级，再把它们加起来！”而要算第9级，又得先知道第8级和第7级……如此层层回溯，直到你回到最基础的第0级和第1级。
这种“自己调用自己”的思路，在编程中就叫递归。
初学者的写法：
function fib(n) {
if (n <= 1) return n;
return fib(n - 1) + fib(n - 2);
}
这段代码简洁优美，几乎就是数学公式的直接翻译。但问题来了：它太慢了！
三、为什么朴素递归会“爆炸”？
让我们以 fib(5) 为例，画出它的调用过程：
你看，fib(3) 被算了两次，fib(2) 被算了三次！随着 n 增大，这种重复呈指数级增长。时间复杂度高达 O(2ⁿ) —— 这意味着计算 fib(100) 几乎永远等不到结果！
我们尝试着运行fib（100）：
几乎不可能在合理时间内得到 fib(100) 的结果，
四、优化之道：用“记忆术”避免重复劳动
人类聪明之处在于记住经验。程序员也一样——我们可以用一个“笔记本”（即缓存）把已经算过的值记下来，下次直接查，不用重算。
这种方法叫做记忆化（Memoization） ，核心思想是：用空间换时间。
方法一：全局缓存
//创建一个空对象，用于存储 `{ n: fib(n) }` 的结果
const cache = {};
function fib(n) {
//查缓存：如果n已经算过，直接返回结果（避免重复工作）
if (n in cache) {
return cache[n];
}
if (n <= 1) {
cache[n] = n;
return n;
}
//递归计算：只在未缓存时计算，并把结果存起来供后续使用
const result = fib(n - 1) + fib(n - 2);
cache[n] = result;
return result;
}
这里，cache 是一个对象，像一本小本子，记录着每个 n 对应的结果。第一次计算 fib(50) 很慢，但第二次调用几乎是瞬间完成！
此时我们再一次调用fib(100):
瞬间完成!
就像你第一次做一道数学题花了1小时，但把解题步骤写在错题本上，下次考试直接翻本子，秒答！
五、更优雅的封装：闭包 + IIFE
但上面的 cache 是全局变量，容易被其他代码污染或误改。有没有办法把它“藏起来”，只让 fib 函数自己用？
答案是：闭包（Closure） + 立即执行函数（IIFE） 。
方法二：私有缓存（推荐写法）
const fib = (function() {
const cache = {}; // 私有变量，外部无法访问
return function(n) {
if (n in cache) {
return cache[n];
}
if (n <= 1) {
cache[n] = n;
return n;
}
cache[n] = fib(n - 1) + fib(n - 2);
return cache[n];
};
})();
这段代码看起来有点“绕”，其实原理很简单：
- 外层
(function(){ ... })()是一个立即执行函数，运行一次就创建了一个封闭的作用域。 - 在这个作用域里，
cache被定义为局部变量。 - 返回的内部函数（真正的
fib）能“记住”这个cache，形成闭包。 - 外部只能通过
fib(n)调用，却看不到、改不了cache。
六、性能对比：天壤之别
| 方法 | 时间复杂度 | 能否计算 fib(100) | 特点 |
|---|---|---|---|
| 朴素递归 | O(2ⁿ) | ❌（卡死） | 简洁但低效 |
| 记忆化递归 | O(n) | ✅（毫秒级） | 高效、可读性强 |
记忆化递归将指数时间降为线性时间，这是算法优化的典型胜利！
七、总结：从小问题看大智慧
斐波那契数列虽小，却蕴含了计算机科学的核心思想：
- 分治思想：大问题拆成小问题（递归）。
- 避免重复：用缓存记住已解决的子问题（动态规划雏形）。
- 封装与安全：用闭包保护内部状态，提升代码健壮性。
当你下次看到 fib(100) 能瞬间输出 354224848179261915075 时，不要只惊叹数字之大，更要想到背后那套精巧的“记忆机制”——它不仅是代码的优化，更是人类智慧的缩影。
编程不是写代码，而是教机器如何聪明地思考。
附：完整可运行示例
const fib = (function() {
const cache = {};
return function(n) {
if (n in cache) return cache[n];
if (n <= 1) {
cache[n] = n;
return n;
}
cache[n] = fib(n - 1) + fib(n - 2);
return cache[n];
};
})();
console.log(fib(100)); // 输出：354224848179261915075
现在，你也可以轻松驾驭“百级斐波那契”了！
