极限&连续对应法则反函数 $y=a^{x} \rightarrow y=\log_{a}x$ $y=e^{x} \ri

对应法则

反函数

$y=a^{x} \rightarrow y=\log_{a}x$
$y=e^{x} \rightarrow y=\ln{x}$
$y=sin{x} \rightarrow y=arcsin{x}$
$y=cos{x} \rightarrow y=arccos{x}$
$y=tan{x} \rightarrow y=arctan{x}$
$y=cot{x} \rightarrow y=arccot{x}$

五个基本初等函数

幂函数 , $y = x^{a}$
1. $x^{m} \cdot x^{n} = x^{m+n}$
2. $\frac{x^{m} } {x^{n} } = x^{m-n}$
3. $\sqrt[m]{x^{n}} = x^{\frac{n}{m}}$
4. $x^{-m} = \frac{1}{x^{m}}$
指数函数, $y=a^{x}, (a>0且a \neq 0)$

极限的定义和运算法则

函数的定义
- 当自变量 x 无限接近某个值 a（或无穷大）时，函数 f(x) 会无限接近一个确定的常数L
- 写作：
- $\lim_{x \to a} f(x) = L$
- [[极限的精准定义]]
- x 趋近于无穷大（∞）时的定义：
  - $\lim_{x \to \infty} f(x) = L$ 的意思是：对于任意 ε > 0，总存在正数 X，使得当 |x| > X 时，都有 |f(x) - L| < ε。即当 x 的绝对值足够大时，函数值被“圈”在了 L 附近的狭小区域（L-ε, L+ε）内
极限的运算法则
1. 四则运算法则
  - 和/差的极限 = 极限的和/差
    $\lim_{x \to a} [f(x) \pm g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) \pm \lim_{x \to a} g(x)$
  - 积的极限 = 极限的积
    $\lim_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) \cdot \lim_{x \to a} g(x)$
  - 特例：常数倍
    $\lim_{x \to a} [c \cdot f(x)] = c \cdot \lim_{x \to a} f(x)$
  - 商的极限 = 极限的商（要求分母极限不为0）
    $\lim_{x \to a} \left[ \frac{f(x)}{g(x)} \right] = \frac{\lim_{x \to a} f(x)}{\lim_{x \to a} g(x)} \quad (\lim_{x \to a} g(x) \ne 0)$
2. 幂的运算法则
  - 幂的极限 = 极限的幂
    $\lim_{x \to a} [f(x)]^n = \left[ \lim_{x \to a} f(x) \right]^n, （n 为正整数）$
    $\lim_{x \to a} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{\lim_{x \to a} f(x)}$ （要求 f(x) > 0）
3. 复合函数运算法则
  - 如果 $\lim_{x \to a} g(x) = b$ ，且 $\lim_{u \to b} f(u) = L$ ，并且当 x 在 a 的去心邻域内时 g(x) ≠ b，那么
    - $\lim_{x \to a} f[g(x)] = \lim_{u \to b} f(u) = L$
  - 这个法则在变量代换求极限时非常有用

抓大头

极限表达式的分子、分母是多项式的情况下

\lim_{x \to \infty} \frac{a_0 x^n + a_1 x^{n - 1} + \cdots + a_n x^0}{b_0 x^m + b_1 x^{m - 1} + \cdots + b_m x^0} = \begin{cases} \frac{a_0}{b_0}, & n = m \\ 0, & n < m \\ \infty, & n > m \end{cases} \quad, \qquad 极限\to \infty

两个重要极限

这是运算法则的基础，必须牢记。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ ![[第一个重要极限.png]]
$\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x = e$ 或 $\lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e$ ![[第二个重要极限.png]]

极限不存在的情况

趋于无穷大：例如 $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = \infty$ （无穷大是一种特殊的“不存在”）
左右极限不相等：例如 $\lim_{x \to 0} \frac{|x|}{x}$ ，左极限为 -1，右极限为 1，两者不相等，故极限不存在。
无限振荡：例如 $\lim_{x \to 0} \sin(\frac{1}{x})$ ，函数值在 -1 和 1 之间无限振荡，无法逼近一个定值。

最常见的七种未定式

$\frac{0}{0}$ 型（分子分母都趋于0）
$\frac{\infty}{\infty}$ 型（分子分母都趋于无穷）
$0 \cdot \infty$ 型（一个趋于0，一个趋于无穷）
$\infty - \infty$ 型（两个都趋于无穷，但相减）
$0^0$ 型
$\infty^0$ 型
$1^{\infty}$ 型

无穷小

定义：如果函数 f(x) 当 x → a（或 x → ∞）时的极限为零，那么称函数 f(x) 为当 x → a（或 x → ∞）时的无穷小量，简称无穷小

记作： $\lim_{x \to a} f(x) = 0$
关键点：
- 无穷小不是指一个非常小的数，而是指一个极限为0的变量或函数
- 数 0 可以看作无穷小，但无穷小通常不一定是 0
- 谈论无穷小必须指明其变化过程（如 x → 0）

无穷大

定义：如果当 $x \to 0$ （或 $x \to \infty$ ）时，函数 f(x) 的绝对值无限增大，那么称函数 f(x) 为当 $x \to 0$ （或 $x \to \infty$ ）时的无穷大量，简称无穷大

记作： $\lim_{x \to a} f(x) = \infty$
关键点：
- 无穷大不是一个很大的数，而是一个趋势，表示函数值在变化过程中没有上界（或下界）
- 极限为无穷大（∞）属于极限不存在的一种特殊情况

无穷小的比较

当两个无穷小都趋于0时，它们趋于0的“速度”可能不同。比较它们阶的高低，可以更精确地描述函数的行为。

设 α(x) 和 β(x) 都是在同一个自变量变化过程中的无穷小 ( $\lim{\alpha(x)} = 0$ , $\lim{\dleta(x)} = 0$ )，且 β(x) ≠ 0。

我们通过计算极限 $\lim \frac{\alpha(x)}{\beta(x)}$ 来比较它们:

极限值 `C`	关系	解释
$C = 0$	α 是 β 的高阶无穷小	α 趋于 0 的速度比 β 快得多。记作 `α = o(β)`
$C \neq 0$ ` (且为常数)	α 与 β 是同阶无穷小	α 和 β 趋于 0 的速度在同一个数量级上。
$C = 1$	α 与 β 是等价无穷小	α 和 β 趋于 0 的速度几乎相同。记作 `α ~ β`
$C = \infty$	α 是 β 的低阶无穷小	α 趋于 0 的速度比 β 慢得多。

常见等价无穷小（当 `x → 0` 时）

$\sin x \sim x$
$\tan x \sim x$
$\arcsin x \sim x$
$\arctan x \sim x$
$1 - \cos x \sim \frac{1}{2}x^2$
$\ln(1 + x) \sim x$
$e^x - 1 \sim x$
$(1 + x)^a - 1 \sim ax$ （a为常数）

应用：在求 0/0 型未定式的极限时，可以将分子或分母中的函数替换为与其等价的无穷小，从而简化计算。
注意：等价无穷小替换一般只能在乘除运算中进行，在加减运算中直接替换可能会出错。

左极限与右极限

函数在某一点的极限存在，要求从左边和右边趋近于该点时，函数值都趋近于同一个常数。

左极限：当 x 从点 a 的左侧 (x < a) 无限接近于 a 时，函数 f(x) 的极限。
- 记作： $\lim_{x \to a^-} f(x)$ 或 $f(a^-)$
右极限：当 x 从点 a 的右侧 (x > a) 无限接近于 a 时，函数 f(x) 的极限。
- 记作： $\lim_{x \to a^+} f(x)$ 或 $f(a^+)$

重要定理：
函数 f(x) 在 x → a 时极限存在的充分必要条件是它的左极限和右极限都存在并且相等：
$lim⁡_{x \to a}f(x)=L ⟺ lim⁡_{x\to a^−}f(x)=lim_{⁡x\to a^+}f(x)= L$

如果左、右极限存在但不相等，则函数在该点的极限不存在。 经典例子： $\lim_{x \to 0} \frac{|x|}{x}$

右极限： $\lim_{x \to 0^+} \frac{|x|}{x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x}{x} = 1$
左极限： $\lim_{x \to 0^-} \frac{|x|}{x} = \lim_{x \to 0^-} \frac{-x}{x} = -1$
左右极限不相等，故 $\lim_{x \to 0} \frac{|x|}{x}$ 不存在。

夹逼准则（Squeeze Theorem / Sandwich Theorem）

夹逼准则是求解极限的一个非常强大的工具，尤其适用于那些难以直接求极限的复杂函数或数列。

函数极限的夹逼准则：
如果函数 f(x), g(x), h(x) 在点 a 的某个去心邻域内满足：

g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)
$\lim_{x \to a} g(x) = \lim_{x \to a} h(x) = L$
那么， $\lim_{x \to a} f(x)$ 存在，且等于 L。

数列极限的夹逼准则（完全类似）：
如果数列 ${a_n}$ , ${b_n}$ , ${c_n}$ 满足：

$b_n ≤ a_n ≤ c_n$ （从某项 N 开始）
$\lim_{n \to \infty} b_n = \lim_{n \to \infty} c_n = L$
那么， $\lim_{n \to \infty} a_n = L$ 。

核心思想：用一个“夹住”目标函数（或数列）的、且极限易求的两个函数（或数列），来“逼出”目标本身的极限。

经典应用：证明第一个重要极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

在单位圆上，可以几何证明以下不等式对于 0 < x < π/2 成立：
$\sin x < x < \tan x$
通过变形得到：
$\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1$
已知 $\lim_{x \to 0} \cos x = 1$ ，且 $\lim_{x \to 0} 1 = 1$ 。
根据夹逼准则，位于它们之间的函数 $\frac{\sin x}{x}$ 的极限也必为 1。

另一个常见例子：求 $\lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{\sqrt{n^2+1}} + \frac{1}{\sqrt{n^2+2}} + ... + \frac{1}{\sqrt{n^2+n}} \right)$

设 $a_n = \frac{1}{\sqrt{n^2+1}} + \frac{1}{\sqrt{n^2+2}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{n^2+n}}$ 为该和式。
放大：每一项都小于 1/n，所以 $a_n < n * (\frac{1}{n}) = 1$ 。
缩小：每一项都大于 1/√(n²+n) = 1/(n√(1+1/n))，所以 a_n > n * (1/(n√(1+1/n))) = 1/√(1+1/n)。
而 $\lim_{n \to \infty} 1 = 1$ ，且 $\lim_{n \to \infty} 1/\sqrt{1+1/n} = 1$ 。
由夹逼准则得， $\lim_{n \to \infty} a_n = 1$

实际上，我们更常用的是以下放缩（因为更容易求极限）：

由于分母最大的是 $\sqrt{n^2+n}$ ，最小的是 $\sqrt{n^2+1}$ ，所以：

每一项都大于等于 $\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}$
每一项都小于等于 $\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}$

单调有界准则

单调有界准则是判断数列极限是否存在的一个非常重要的准则，它不需要先猜出极限值。

准则内容:

单调递增且有上界的数列必有极限。
单调递减且有下界的数列必有极限。

重要应用：证明数列极限存在

证明单调性：通过作差 $a_{n+1} - a_n$ 或作商 $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ (对于正项数列) 来证明数列是单调递增或递减的。
证明有界性：用[[数学归纳法]]或其他方法证明数列有上界（对于递增数列）或下界（对于递减数列）。
得出结论：该数列收敛，即极限存在。

经典例子：数列 $x_n = (1 + \frac{1}{n})^n$ 是单调递增且有上界的，因此它收敛，我们将其极限定义为自然常数 $e$

函数的连续性

连续性描述的是函数在某一点或某一区间内“连绵不断”的特性。

在一点处连续的定义：
函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续，需要同时满足以下三个条件：
1. $f(x)$ 在 $x_0$ 处有定义。
2. 极限 $\lim_{x \to x_0} f(x)$ 存在。
3. 极限值等于函数值： $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$ 。
另一种等价定义（增量定义）：
- 设自变量从 $x_0$ 变化到 $x$ ，增量 $\Delta x = x - x_0$ ，相应的函数增量 $\Delta y = f(x) - f(x_0) = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$ 。如果 $\lim_{\Delta x \to 0} \Delta y = 0$ ，则称函数在 $x_0$ 处连续。
在区间上连续：
- 如果函数在开区间 $(a, b)$ 内每一点都连续，则称其在 $(a, b)$ 内连续。
- 如果函数在 $(a, b)$ 内连续，
  - 且在左端点 $a$ 处右连续（ $\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$ ）
  - 在右端点 $b$ 处左连续（ $\lim_{x \to b^-} f(x) = f(b)$ ）则称其在闭区间 $[a, b]$ 上连续。 直观理解：函数在一点连续，意味着其图像在这一点是“一笔画成的”，没有断裂、跳跃或尖刺

闭区间上连续函数的性质

闭区间上的连续函数具有非常良好的性质，这些性质在理论和应用上都极为重要。

定理1：有界性与最值定理
在闭区间 $[a, b]$ 上连续的函数 $f(x)$ ，在该区间上一定有界，并且一定能取得它的最大值和最小值

几何意义：一段连绵不断的曲线，其最高点和最低点的高度是有限的

定理2：零点定理
设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，且 $f(a)$ 与 $f(b)$ 异号（即 $f(a) \cdot f(b) < 0$ ），则在开区间 $(a, b)$ 内至少存在一点 $\xi$ ，使得 $f(\xi) = 0$

几何意义：一条连续曲线从x轴的一侧穿到另一侧，则必然至少与x轴有一个交点
应用：用于证明方程的根的存在性。例如，证明方程 $x^3 - 4x - 2 = 0$ 在区间 $(1, 2)$ 内至少有一个根

定理3：介值定理
设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续， $M$ 和 $m$ 分别是其最大值和最小值。则对于任何介于 $m$ 和 $M$ 之间的实数 $C$ （即 $m \leq C \leq M$ ），在开区间 $(a, b)$ 内至少存在一点 $\xi$ ，使得 $f(\xi) = C$

几何意义：一段连续曲线能够取到其最高点和最低点之间的每一个值

(零点定理是介值定理的一个特例，当 $C=0$ 且 $m < 0 < M$ 时)

间断点（不连续点）

如果函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处不连续，则称 $x_0$ 为函数 $f(x)$ 的间断点。根据间断的特点，间断点可分为以下几类：

类型	特点	左、右极限是否存在且相等？	示例
第一类间断点	左右极限都存在
1. 可去间断点	左右极限存在且相等，但不等于函数值或该点无定义	是	$f(x) = \frac{\sin x}{x}$ 在 $x=0$ 处（无定义，但极限为1）
2. 跳跃间断点	左右极限存在但不相等	否	$f(x) = \begin{cases} 1, & x \geq 0 \ -1, & x < 0
第二类间断点	左右极限至少有一个不存在
1. 无穷间断点	左右极限至少有一个为无穷大	否	$f(x) = \frac{1}{x}$ 在 $x=0$ 处
2. 振荡间断点	函数值在该点附近无限振荡，极限不存在	否	$f(x) = \sin(\frac{1}{x})$ 在 $x=0$ 处

判断步骤：

检查函数在 $x_0$ 处是否有定义。若无定义，必为间断点。
检查 $\lim_{x \to x_0} f(x)$ 是否存在。
- 如果极限存在（设为 $L$ ），但与 $f(x_0)$ 不相等或 $f(x_0)$ 无定义，则为可去间断点。
- 如果左右极限存在但不相等，则为跳跃间断点。
如果极限不存在，检查是否是无穷大或振荡，从而判断是无穷间断点还是振荡间断点

极限&连续