人工智能基础知识学习-数学片

刘新洲
67 阅读5分钟

1. 导数

  • 导数的核心是 函数在某一点的瞬时变化率，可以理解为：当自变量的变化量无限趋近于 0 时，函数值的变化量与自变量变化量的比值。
  • 我们从生活例子入手，再过渡到数学定义和计算方法，全程不用复杂公式。

  • 一、先从 “平均变化率” 理解

  • 变化率是我们日常能感知的概念，比如：
    • 开车 2 小时走了 120 公里，平均速度 = 120 公里 ÷ 2 小时 = 60 公里 / 小时 —— 这就是位移的平均变化率。
    • 小明 1 个月体重从 50kg 涨到 52kg，平均体重变化率 = 2kg ÷ 1 月 = 2kg / 月 —— 这是体重的平均变化率。
  • 对应到数学上，假设我们有一个函数 y=f(x)，自变量从 x1​ 变到 x2​，函数值从 f(x1​) 变到 f(x2​)：平均变化率=自变量变化量函数值变化量​=x2​−x1​f(x2​)−f(x1​)​这个式子的几何意义是：函数图像上 两点之间的直线斜率。

  • 二、从 “平均” 到 “瞬时”：导数的诞生

  • 平均变化率描述的是一段区间内的整体变化快慢，但如果我们想知道 某一时刻的变化快慢（比如开车到第 30 分钟时的瞬时速度），该怎么办？
  • 方法很简单：让自变量的变化量 无限缩小，小到趋近于 0。
  • 举个具体例子：函数 y=x2，我们想求 x=1 处的瞬时变化率。
    1. 先取 x=1 附近的一个点 x=1+Δx（Δx 是自变量的变化量，比如 Δx=0.1）
    2. 计算函数值变化量：f(1+Δx)−f(1)=(1+Δx)2−12=2Δx+(Δx)2
    3. 计算平均变化率：Δx2Δx+(Δx)2​=2+Δx
    4. 让 Δx 无限趋近于 0（记为 Δx→0），此时平均变化率就变成了 2 —— 这个值就是函数 y=x2 在 x=1 处的导数。

  • 三、导数的数学定义

  • 把上面的例子推广到任意函数 y=f(x)，在任意点 x 处的导数定义为：f′(x)=limΔx→0​Δxf(x+Δx)−f(x)​其中：
    • f′(x) 读作 “f 撇 x”，表示函数 f(x) 在 x 处的导数；
    • limΔx→0​ 表示 “当 Δx 无限趋近于 0 时”；
    • 这个式子也叫 导数的极限定义。

  • 导数的几何意义

  • 函数在某点的导数 = 函数图像在该点的 切线斜率。
    • 切线是刚好 “擦过” 该点的直线，它的斜率就是该点的瞬时变化率；
    • 平均变化率对应的是 “割线斜率”，瞬时变化率对应的是 “切线斜率”。

  • 四、导数的直观理解

    • 导数  > 0：函数在该点 单调递增（比如 y=x，导数恒为 1，函数一直上升）；
    • 导数  < 0：函数在该点 单调递减（比如 y=−x，导数恒为 -1，函数一直下降）；
    • 导数 = 0：函数在该点 变化率为 0（比如 y=x2 在 x=0 处导数为 0，此处是函数的最低点）。

  • 五、怎么计算导数？（不用极限的简便方法）

  • 直接用极限定义计算导数很麻烦，数学家总结了 基本函数的导数公式 和 运算法则，我们直接套用就行（之前也提到过）：
    1. 常数函数：f(x)=C（比如 f(x)=5），导数 f′(x)=0 —— 常数不会变，变化率为 0；
    2. 幂函数：f(x)=xn（比如 f(x)=x3），导数 f′(x)=n⋅xn−1 —— 比如 x3 的导数是 3x2；
    3. 加减法则：[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x) —— 两个函数加减，导数也加减。

  • 举个例子

  • 计算 f(x)=2x2+3 的导数：
    • (2x2)′=2⋅2x=4x（幂函数法则）；
    • 3′=0（常数法则）；
    • 所以 f′(x)=4x+0=4x。

  • 六、导数在深度学习中的作用

  • 为什么我们要学导数？因为它是 反向传播、梯度下降的核心：
    • 神经网络的损失函数是关于参数 w 的函数 Loss(w)；
    • 损失函数的导数 Loss′(w) 就是 梯度，它告诉我们：参数 w 往哪个方向调整，能让损失函数变小；

导数入门练习题（带答案）

说明

  1. 题目难度从基础到进阶，覆盖常数、幂函数、加减运算、简单复合函数

  2. 核心公式：

    • 常数函数：f(x)=C，f′(x)=0
    • 幂函数：f(x)=xn，f′(x)=nxn−1
    • 加减法则：[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x)
    • 简单复合函数（链式法则）：[f(g(x))]′=f′(g(x))⋅g′(x)

一、基础题（直接套用公式）

  1. 求 f(x)=5 的导数
  2. 求 f(x)=x 的导数
  3. 求 f(x)=x4 的导数
  4. 求 f(x)=x1​ 的导数（提示：x1​=x−1）
  5. 求 f(x)=x​ 的导数（提示：x​=x21​）

基础题答案

  1. f′(x)=0（常数函数导数为 0）
  2. f′(x)=1⋅x1−1=1
  3. f′(x)=4x4−1=4x3
  4. f′(x)=−1⋅x−1−1=−x−2=−x21​
  5. f′(x)=21​x21​−1=21​x−21​=2x​1​

二、进阶题（加减运算法则）

  1. 求 f(x)=2x3+3x2 的导数
  2. 求 f(x)=x5−2x+7 的导数
  3. 求 f(x)=x22​−x​ 的导数

进阶题答案

  1. f′(x)=(2x3)′+(3x2)′=6x2+6x
  2. f′(x)=(x5)′−(2x)′+(7)′=5x4−2+0=5x4−2
  3. 先变形：f(x)=2x−2−x21​f′(x)=2×(−2)x−3−21​x−21​=−x34​−2x​1​

三、挑战题（简单复合函数，链式法则）

提示：外层函数求导 × 内层函数求导

  1. 求 f(x)=(2x+1)2 的导数
  2. 求 f(x)=3x−2​ 的导数（提示：u​=u21​）
  3. 求 f(x)=x2+11​ 的导数

挑战题答案

  1. 令 u=2x+1，f(u)=u2f′(x)=f′(u)⋅u′=2u×2=2(2x+1)×2=4(2x+1)=8x+4
  2. 令 u=3x−2，f(u)=u21​f′(x)=21​u−21​×3=23x−2​3​
  3. 令 u=x2+1，f(u)=u−1f′(x)=−1⋅u−2×2x=−(x2+1)22x​
avatar
文章
阅读
粉丝