2.刚体动力学基础概念📝 刚体动力学学习笔记 1. 核心概念：平移运动 (Translational Motion)

📝 刚体动力学学习笔记

刚体模拟的基础，描述物体的位置变化。

状态变量：位置 $x$ ，速度 $v$ 。
动力学公式：基于牛顿第二定律 $F=ma$ 。
- 加速度 $a = F/M$ 。
- 速度更新： $v_{new} = v_{old} + \Delta t \cdot M^{-1} \cdot f$ 。

计算机模拟时间的手段，核心在于如何利用速度更新位置。

显式欧拉 (Explicit Euler) ：
- 逻辑：使用旧速度更新位置 ( $x_{new} = x_{old} + \Delta t \cdot v_{old}$ ) 。
- 缺点：能量不守恒，误差大 ( $O(\Delta t^2)$ )，模拟不稳定。
半隐式欧拉 / 蛙跳法 (Semi-implicit / Leapfrog) ：
- 逻辑：先更新速度，立即使用新速度更新位置 ( $x_{new} = x_{old} + \Delta t \cdot v_{new}$ )。
- 核心优势：
  - 精度更高：误差为 $O(\Delta t^3)$ 。
  - 更稳定：能量守恒性更好，游戏引擎的首选。
- 数学本质：相当于使用了 $t^{[0.5]}$ 时刻的“中间速度”来近似整帧的平均速度。

刚体模拟的难点，描述物体的朝向变化。

旋转表示法：
- 矩阵 (Matrix) ：数据冗余 (9个数)，难求导，易产生形变。
- 欧拉角 (Euler Angles) ：万向节死锁 (Gimbal Lock)，数学运算复杂。
- 四元数 (Quaternion) ：最佳选择。无死锁，计算快，仅需4个数 ( $q = [\cos\frac{\theta}{2}, v\sin\frac{\theta}{2}]$ )。
动力学对应关系：
- 力 (Force) $\rightarrow$ 力矩 (Torque, $\tau$ ) ： $\tau = r \times F$ 。
- 质量 (Mass) $\rightarrow$ 转动惯量 (Inertia, $I$ ) ：描述物体抵抗旋转的能力。
转动惯量的处理：
- $I_{ref}$ (参考惯量)：常数，在局部空间计算一次即可。
- $I$ (世界惯量)：随物体旋转而变，公式为 $I = R I_{ref} R^T$ 。
特殊情况：重力作用于质心，力臂为 0，因此重力不产生力矩，不改变旋转状态。

每一帧的更新顺序呈现高度的对称性：

步骤	平移 (Translation)	旋转 (Rotation)
1. 累加影响	合力 $f \leftarrow \sum f_i$	合力矩 $\tau \leftarrow \sum \tau_i$
2. 更新速度	$v \leftarrow v + \Delta t M^{-1} f$	$\omega \leftarrow \omega + \Delta t I^{-1} \tau$
3. 更新状态	$x \leftarrow x + \Delta t v$	$q \leftarrow q + [0, \frac{\Delta t}{2}\omega] \times q$

Q1: 显式欧拉到底是什么？
- A：并不是“先算速度”就是半隐式。只要你在算位置时用的是旧速度 ( $v_{old}$ ) ，那就是显式欧拉。只有在算位置时用了刚刚算出的新速度 ( $v_{new}$ ) ，才是半隐式（蛙跳）。
Q2: 为什么会有“两帧之间的速度”？
- A：这是一个数学上的“错位网格”技巧。虽然渲染时我们在整数帧 ( $t^{[1]}$ ) 画图，但在物理计算内部，我们认为速度存在于半整数时间点 ( $t^{[0.5]}$ )。这样算出的速度更接近这一帧的“平均速度”，比单纯用起点或终点速度更准。
Q3: 为什么矩阵/欧拉角求导很困难？
- A：
  - 矩阵：有严格的正交性约束 ( $R^T R = I$ )，数值计算容易破坏这种约束（导致物体被拉伸），且导数涉及复杂的反对称矩阵运算。
  - 欧拉角：导数与角速度是非线性关系，且在万向节死锁位置会出现数学奇点（Singularity），导致模拟崩溃。四元数的导数公式 ( $\dot{q} = \frac{1}{2}\omega q$ ) 则非常线性且稳定。