初等函数微积分完全表（Markdown 版）

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📘 初等函数微积分完全表（Markdown 版）

本文汇总常用的初等函数的导数与积分公式，按类型系统整理，可作为工具手册使用。

目录

1. 求导基本法则

1.1 和差法则

(f±g)′=f′±g′(f\pm g)' = f' \pm g'

1.2 乘法法则

(fg)′=f′g+fg′(fg)' = f'g + fg'

1.3 商法法则

(fg)′=f′g−fg′g2\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}

1.4 链式法则

ddxf(g(x))=f′(g(x)) g′(x)\frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x))\, g'(x)

1.5 反函数求导

dxdy=1dy/dx\frac{dx}{dy} = \frac{1}{dy/dx}

2. 基本积分法则

2.1 不定积分线性运算

∫(af+bg) dx=a∫f dx+b∫g dx\int (af + bg)\, dx = a\int f\, dx + b\int g\, dx

2.2 换元法

∫f(g(x))g′(x) dx=∫f(u) du\int f(g(x))g'(x)\, dx = \int f(u)\, du

2.3 分部积分法

∫u dv=uv−∫v du\int u\, dv = uv - \int v\, du

3. 幂函数

3.1 导数

(xn)′=nxn−1(x^n)' = nx^{n-1}
(x)′=12x(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}
(x−1)′=−x−2(x^{-1})' = -x^{-2}

3.2 积分

∫xndx=xn+1n+1+C(n≠−1)\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C \quad (n\neq -1)
∫x−1 dx=ln⁡∣x∣+C\int x^{-1}\, dx = \ln|x| + C
∫x dx=23x3/2+C\int \sqrt{x}\,dx = \frac{2}{3}x^{3/2}+C

4. 指数函数

4.1 导数

(ex)′=ex(e^x)' = e^x
(ax)′=axln⁡a(a^x)' = a^x \ln a

4.2 积分

∫exdx=ex+C\int e^x dx = e^x + C
∫axdx=axln⁡a+C\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a}+C

5. 对数函数

5.1 导数

(ln⁡x)′=1x(\ln x)' = \frac{1}{x}
(log⁡ax)′=1xln⁡a(\log_a x)' = \frac{1}{x\ln a}

5.2 积分

∫ln⁡x dx=xln⁡x−x+C\int \ln x\, dx = x\ln x - x + C
∫ln⁡xxdx=12(ln⁡x)2+C\int \frac{\ln x}{x} dx = \frac{1}{2}(\ln x)^2 + C

6. 三角函数

6.1 导数

(sin⁡x)′=cos⁡x(\sin x)' = \cos x
(cos⁡x)′=−sin⁡x(\cos x)' = -\sin x
(tan⁡x)′=sec⁡2x(\tan x)' = \sec^2 x
(cot⁡x)′=−csc⁡2x(\cot x)' = -\csc^2 x
(sec⁡x)′=sec⁡xtan⁡x(\sec x)' = \sec x\tan x
(csc⁡x)′=−csc⁡xcot⁡x(\csc x)' = -\csc x\cot x

6.2 积分

∫sin⁡x dx=−cos⁡x+C\int \sin x\, dx = -\cos x + C
∫cos⁡x dx=sin⁡x+C\int \cos x\, dx = \sin x + C
∫tan⁡x dx=−ln⁡∣cos⁡x∣+C\int \tan x\, dx = -\ln|\cos x| + C
∫cot⁡x dx=ln⁡∣sin⁡x∣+C\int \cot x\, dx = \ln|\sin x| + C
∫sec⁡x dx=ln⁡∣sec⁡x+tan⁡x∣+C\int \sec x\, dx = \ln|\sec x + \tan x| + C
∫csc⁡x dx=ln⁡∣csc⁡x−cot⁡x∣+C\int \csc x\, dx = \ln|\csc x - \cot x| + C

7. 反三角函数

7.1 导数

(arcsin⁡x)′=11−x2(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
(arccos⁡x)′=−11−x2(\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
(arctan⁡x)′=11+x2(\arctan x)' = \frac{1}{1+x^2}
(\arccotx)′=−11+x2(\arccot x)' = -\frac{1}{1+x^2}

7.2 积分

∫11−x2dx=arcsin⁡x+C\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = \arcsin x + C
∫11+x2dx=arctan⁡x+C\int \frac{1}{1+x^2} dx = \arctan x + C

8. 双曲函数

8.1 导数

(sinh⁡x)′=cosh⁡x(\sinh x)' = \cosh x
(cosh⁡x)′=sinh⁡x(\cosh x)' = \sinh x
(tanh⁡x)′=sech⁡2x(\tanh x)' = \operatorname{sech}^2 x

8.2 积分

∫sinh⁡x dx=cosh⁡x+C\int \sinh x\, dx = \cosh x + C
∫cosh⁡x dx=sinh⁡x+C\int \cosh x\, dx = \sinh x + C
∫sech⁡2x dx=tanh⁡x+C\int \operatorname{sech}^2 x\, dx = \tanh x + C

9. 反双曲函数

9.1 导数

(arsinh⁡x)′=1x2+1(\operatorname{arsinh} x)' = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}
(artanh⁡x)′=11−x2(\operatorname{artanh} x)' = \frac{1}{1-x^2}

9.2 积分

∫1x2+1dx=arsinh⁡x+C\int \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} dx = \operatorname{arsinh} x + C
∫11−x2dx=artanh⁡x+C\int \frac{1}{1-x^2} dx = \operatorname{artanh} x + C

10. 有理函数与部分分式

∫dxax+b=1aln⁡∣ax+b∣+C\int \frac{dx}{ax+b} = \frac{1}{a}\ln|ax+b| + C
∫dxx2+a2=1aarctan⁡(xa)+C\int \frac{dx}{x^2+a^2} = \frac{1}{a}\arctan\left(\frac{x}{a}\right)+C
∫dx(x−a)(x−b)=1a−bln⁡∣x−ax−b∣+C\int \frac{dx}{(x-a)(x-b)} = \frac{1}{a-b}\ln\left|\frac{x-a}{x-b}\right| + C

11. 含根式形式积分

∫dxa2−x2=arcsin⁡xa+C\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}} = \arcsin\frac{x}{a}+C
∫a2−x2 dx=x2a2−x2+a22arcsin⁡xa+C\int \sqrt{a^2-x^2}\, dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+\frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a}+C
∫dxxx2−a2=1a\arcsecxa+C\int \frac{dx}{x\sqrt{x^2-a^2}} = \frac{1}{a}\arcsec\frac{x}{a}+C

12. 常用换元积分

常见换元类型：

  • (u = ax + b) 型
  • 三角换元
  • 反三角换元
  • 根式换元
  • 对数换元

示例：

∫dxa2−x2令 x=asin⁡θ\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}} \quad\text{令 } x=a\sin\theta

13. 分部积分典型表

∫xeaxdx=eax(xa−1a2)+C\int x e^{ax} dx = e^{ax}\left(\frac{x}{a}-\frac{1}{a^2}\right)+C
∫xsin⁡ax dx=−xacos⁡ax+1a2sin⁡ax+C\int x\sin ax\, dx = -\frac{x}{a}\cos ax + \frac{1}{a^2}\sin ax + C
∫xln⁡x dx=x22ln⁡x−x24+C\int x\ln x\, dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C

14. 特殊积分（伽马/贝塔/工程积分）

Γ(n)=∫0∞xn−1e−xdx\Gamma(n) = \int_0^\infty x^{n-1} e^{-x} dx
B(x,y)=∫01tx−1(1−t)y−1dtB(x,y)= \int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y-1} dt

工程常见：

∫0∞e−axsin⁡bx dx=ba2+b2\int_0^\infty e^{-ax}\sin bx\, dx = \frac{b}{a^2+b^2}
∫0∞e−axcos⁡bx dx=aa2+b2\int_0^\infty e^{-ax}\cos bx\, dx = \frac{a}{a^2+b^2}

📌 结语

本 Markdown 文档是一份结构完整、覆盖全面的初等函数微积分公式手册，可直接用于：

  • 工程手册
  • 数学学习资料
  • 博客文章
  • 课程笔记
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