Advent of Code 2025 挑战全手写代码 Day 10 - 工厂

🎄 Advent of Code 2025 挑战全手写代码 Day 10 - 工厂

大家好，昨天 day 9 的题目有没有难到你？今天的题目 Factory 难度依旧困难（四星 ⭐⭐⭐⭐），核心考察：位运算（异或）、组合枚举、以及线性方程建模、广度优先搜索 等知识点。

📖 题目速览

• 题目地址：adventofcode.com/2025/day/10
• 背景：走廊对面是一座大型工厂，机器全部离线。初始化流程的手册关键部分被柴犬吃掉，只剩下指示灯图、按钮接线和电压需求。你需要先用按钮配置指示灯（Part 1），再拉下杠杆切换到电压模式，用同一组按钮把各计数器累加到指定值（Part 2），并最小化总按键次数。
• 每台机器一行：方括号是指示灯目标（Part 2 忽略，Part 1 使用）、括号是按钮影响的灯位（或计数器索引），花括号是电压（Part 1 忽略，Part 2 使用）。

🧠 解题思路 (Python 🐍)

• Part 1：用“异或”建模并按子集大小逐步枚举

  • 本题中灯只有开、关两个状态，对应二进制 0 和 1。而按钮的作用是“切换灯的状态”，即 0 变 1，1 变 0。
  • 切换操作正好可以用位运算的异或（^）实现：0 异或 1 等于 1，1 异或 1 等于 0。
  • 每个按钮对应一个位掩码；按一次按钮就是把当前状态与该掩码做异或。
  • 虽然题目说“可以按一个按钮任意多次”，但因为异或的交换律和自反性（同一按钮按两次等于没按），问题等价于“每个按钮最多按一次”。
  • 从小到大枚举按钮子集，第一次异或出目标就得到最少按键次数。

  def part1(self) -> int:
      out: int = 0
      for light, buttons, _, _ in self.entries:
          breaked: bool = False
          for k in range(len(buttons)):
              for comb in combinations(buttons, k + 1):
                  status: int = 0
                  for num in comb:
                      status ^= num
                  if status == light:
                      out += k + 1
                      breaked = True
                      break
              if breaked:
                  break
      return out
  

今日挑战全手写代码失败！

• Part 2：把“电压累加”建成线性方程，使用 SymPy 求解（尚未完成整数约束）

  • 切换到电压模式后，每次按按钮会让被影响的计数器各自加 1。
  • 把每个按钮的“作用次数”记作未知量 x_j，每个计数器的目标是一个等式：Σ A[i][j] * x_j = b[i]。
  • 使用 sympy.solve 在实数域里求解，随后在所有解集中选取 sum(x_j) 最小的那个，并把它加到总按键次数上。
  • 当前代码尚未加入 x_j ∈ Z_≥0 的整数与非负约束，属于阶段性实现，后续会完善。

  def part2(self) -> int:
      out: int = 0
      for _, _, button_bits, joltage_req in self.entries:
          button_bits: list[list[int]] = [
              [int(char) for char in bits] for bits in button_bits
          ]
          equations: list[Eq] = []
          for i in range(len(joltage_req)):
              equations.append(
                  Eq(
                      sum(
                          int(button_bits[j][i]) * symbols(f"x_{j}")
                          for j in range(len(button_bits))
                      ),
                      joltage_req[i],
                  )
              )
          solutions: list[dict] = solve(equations, dict=True)
          min_sum = None
          for solution in solutions:
              total = sum(solution.values())
              if min_sum is None or total < min_sum:
                  min_sum = total
          out += min_sum
      return out
  

🧩 关键代码片段

• 输入解析：把方括号的灯图转成二进制目标；用括号里的索引构造每个按钮的位掩码；读取花括号的电压目标。

  def _process_entry(self, line: str) -> tuple[int, list[int], list[list[str]], list[int]]:
      splits = line.split(" ")
      light_diagram = splits[0][1:-1]
      light = int(light_diagram.replace(".", "0").replace("#", "1"), 2)
      raw_buttons = splits[1:-1]
      buttons, button_bits = [], []
      for raw_button in raw_buttons:
          bits = ["0"] * len(light_diagram)
          for num in raw_button[1:-1].split(","):
              bits[int(num)] = "1"
          button_bits.append(bits)
          buttons.append(int("".join(bits), 2))
      joltage_req = list(map(int, splits[-1][1:-1].split(",")))
      return light, buttons, button_bits, joltage_req
  

✨ 代码复盘 & 优化思考

• Part 1：当前用组合枚举，复杂度在按钮数 m 较大时指数级；但本题输入规模小，能在样例和常规数据下跑通。若按钮变多，可改用“状态 BFS”（灯状态作为节点，边为异或按钮）在 O(2^n · m) 内求最短步数。
• Part 2：目前用 SymPy 在线性方程组中找“最小和”的实数解，尚未加整数约束（x_j ∈ Z_≥0）。下一步的思路：
  • 使用整数线性规划（ILP），约束 x_j 为非负整数并最小化 Σ x_j；
  • 或枚举线性系统的“列基”（basic feasible solutions），在有限顶点上筛选非负整数解；
  • 亦可在小规模下做分支限界 / 动态规划优化，或组合“下界剪枝 + 递归”减少搜索。

⏱️ 复杂度分析

• Part 1：最坏 O(2^m)，实际按子集大小分层，命中后提前退出。
• Part 2：解线性方程在实数域多项式时间，但严格的整数解需要 ILP 或其他离散优化方法。

结语

Day 10 的 Part 2 还在打磨中；即使暂时卡壳也不要气馁，只做完 Part 1 也有一颗星 ⭐。保持对复杂度的敏感度，逐步完善整数约束与剪枝策略，明天继续冲榜！🚀