物理模拟学习总结 — PBD 与 XPBD

物理模拟学习总结 — PBD 与 XPBD

1. PBD（Position-Based Dynamics）理论理解

核心理念

• PBD 不通过力和加速度积分来更新位置，而是直接修正粒子位置以满足约束。

• 优点：

  • 稳定性高，不易爆炸
  • 易于实现，适合实时仿真
  • 约束直观（距离约束、体积约束、碰撞约束等）

• 缺点：

  • 能量不守恒
  • 刚度受迭代次数影响
  • 物理表现可能不严格真实

核心步骤

1. 预测位置：根据当前位置和速度预测下一帧位置

2. 迭代修正：通过约束投影修正预测位置

3. 速度更新：根据修正后的位置计算新速度

   • 公式直觉：v_new = (x_corrected - x_old) / dt
   • 保证速度与位置一致，避免约束被破坏累积误差

质量分配

• 修正量按质量倒数分配：

  • 质量大 → 移动少
  • 质量小 → 移动多

• 使系统物理直觉合理

核心直觉总结

• PBD = “先保证约束满足，再反推速度”，类似“根据答案做题”
• 传统力积分 = “正向推导，误差累积”
• PBD 稳定性来源：每帧直接将位置投影到约束集合，误差不累积
• 缺点：能量不守恒，物理表现依赖预测精度

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2. XPBD（Extended Position-Based Dynamics）理论

核心改进

• 引入拉格朗日乘子 λ（张力） ，记录约束的累积力
• 修正位置时结合 λ，使约束硬度可控，能量表现更合理
• 迭代次数对硬度影响减小
• 可实现柔体、布料以及“近似刚体”

λ 的作用

1. 记录上一帧约束的拉力
2. 影响下一帧修正量，使系统表现出弹性硬度
3. 保证位置修正的稳定性和连续性

直觉类比

• PBD = “粗暴助手，几何错误就硬拉回去”
• XPBD = “有记忆的绳子，根据张力 λ 调整拉回力度”

核心理解

• λ 越大 → 下一帧表现越硬
• XPBD 可以通过调参数控制刚度，从软体到半刚体近似刚体
• 对真实刚体碰撞，传统冲量解算更适合；XPBD 用 λ 主要是保证稳定性和减少穿透

3. PBD 核心算法循环 (The Loop)

PBD 的独特之处在于它直接操作位置来满足约束，而不是像传统物理引擎那样计算力。每一帧的模拟分为三个主要步骤 1：

• Step 1: 预测 (Prediction)

  仅根据重力等外力，粗略预测粒子的去向，完全忽略约束。

  • $v_{i} \leftarrow v_{i} + \Delta t \cdot g$ （应用重力）
  • $p_{i} \leftarrow x_{i}$ （关键：保存当前位置到 $p$，用于后续计算速度）
  • $x_{i} \leftarrow x_{i} + \Delta t \cdot v_{i}$ （更新预测位置）

• Step 2: 约束求解 (Constraint Solving)

  将预测的“非法”位置 $x_i$ 强制拉回到满足约束（如绳子长度、墙壁阻挡）的“合法”位置。

  • 循环执行：solve(C, dt)

• Step 3: 速度更新 (Velocity Update)

  基于位置的实际变化量，反推这一帧的真实速度。

  • $v_{i} \leftarrow (x_{i} - p_{i}) / \Delta t$
  • 优点：自然处理了碰撞响应和阻尼，防止物体在碰撞后保留朝向墙壁的速度而产生抖动。

2. 距离约束与质量分配

在修正位置时，PBD 遵循物理规律，根据物体的质量来分配移动距离 2：

• 原理：质量越大，移动越少；质量越小，移动越多。

• 倒数质量 (Inverse Mass, $w$) ：使用 $w = 1/m$ 进行计算。

  • 普通物体：$w > 0$。
  • 无限质量物体 (如钉子、墙) ：$w = 0$。代入公式后，其位置修正量为 0，即完全不动。

3. PBD 的局限性 vs XPBD 的改进

当场景中有多个约束互相冲突（Constraint Fighting）时，为了解算稳定，通常需要多次迭代 (Iterations) 。

特性	原始 PBD	XPBD (Extended PBD)
刚度 (Stiffness)	依赖于 迭代次数 和 时间步长 ($\Delta t$) 。迭代越多，物体越硬。	引入物理参数 Compliance ($\alpha$) 。刚度是固定的物理属性。
公式差异	$\lambda = \frac{-C}{\sum w_i	\nabla C
物理准确性	不准确。改变 FPS 或迭代次数会改变物体材质手感。	准确。无论跑多快，橡皮筋的软硬程度保持一致。
适用场景	游戏视觉特效（追求速度和稳定性）。	工程模拟、精确物理（追求材质真实感）。

• XPBD 核心机制：通过在分母中加入 $\frac{\alpha}{\Delta t^2}$，当时间步长 $\Delta t$ 变小时，分母变大，修正力度 $\lambda$ 自动变小，从而抵消了因步长变小而增加的计算次数，保持总刚度不变。

4. 梯度计算 ($\nabla C$)

梯度决定了粒子应该“往哪个方向移动”来最快地满足约束 3。

以 距离约束 $C = |x_1 - x_2| - d$ 为例：

• 我们希望增加或减少 $x_1$ 和 $x_2$ 之间的距离。

• 对于 $x_1$ ：需要沿着 $x_1 - x_2$ 的方向移动（远离 $x_2$）。

  • $\nabla_{x_1} C = \frac{x_1 - x_2}{|x_1 - x_2|}$ 4

• 对于 $x_2$ ：方向总是与 $x_1$ 相反（牛顿第三定律）。

  • $\nabla_{x_2} C = - \nabla_{x_1} C$ 5

4. PBD/XPBD 与刚体、软体、流体的关系

刚体

• XPBD 可以近似“刚体”，但不是严格刚体动力学
• 刚体碰撞一般使用冲量解算，而不是 λ 修正

软体

• 传统刚体引擎理论可实现软体，但非常困难且低效
• PBD/XPBD 更适合软体模拟（布料、毛发、软组织等）

流体

• PBD 扩展（PBF/DFSPH）可模拟流体，但需额外密度约束
• XPBD 主要适合粒子约束系统，流体需要特定扩展

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5. 通用物理模拟框架

方法	刚体	软体	流体	实时	统一程度
XPBD/PBD	近似	✔	需扩展	高	★★★
MPM	✔	✔	✔	中/高	★★★★★
FEM	✔	✔	有限	中	★★★★
传统刚体引擎	✔	✘	✘	高	★

• XPBD：游戏领域通用，稳定、易实时，硬度可控
• MPM：学术/电影级统一物理引擎，可从刚体→软体→流体无缝过渡
• FEM：适合连续体模拟，可通过本构模型调节硬度
• 传统刚体引擎：高效刚体，但无法自然处理软体或流体

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6. 核心理论总结

1. PBD 的哲学：位置驱动 → 稳定，但能量不守恒

2. XPBD 的哲学：位置驱动 + λ 累积 → 稳定、可控硬度

3. 统一物理模拟：现代方法通过粒子、约束或本构模型，参数调节实现刚体、软体、流体的连续过渡

4. 实际应用：

   • 游戏：XPBD/PBD（实时、稳定）
   • 学术/影视：MPM/FEM（高精度、统一物理）