题目描述
给你一个整数数组 coins ，表示不同面额的硬币；以及一个整数 amount ，表示总金额。
计算并返回可以凑成总金额所需的 最少的硬币个数 。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1 。
你可以认为每种硬币的数量是无限的。
解题思路
- 动态规划：
- 定义
dp[i]表示组成金额i所需的最小硬币数 - 初始化
dp = 0，其他为极大值（表示不可达）
- 定义
- 状态转移：
- 遍历每种金额，对每个硬币面额
coin - 若
i >= coin，则dp[i] = min(dp[i], dp[i-coin] + 1)
- 遍历每种金额，对每个硬币面额
- 边界处理：
- 金额为0时不需要任何硬币
- 无法组合的金额返回-1
- 完全背包：
- 硬币可重复使用，类似完全背包问题
- 自底向上：
- 从小金额向大金额递推求解
关键洞察
- 最优子结构：
- 大金额的最优解依赖小金额最优解
- 重叠子问题：
- 多个金额计算共享相同子问题
- 初始化技巧：
- 极大值设为
amount+1（最大硬币数上限）
- 极大值设为
- 剪枝优化：
- 硬币排序后提前终止无效计算
- 负数处理：
- 硬币面额需为正数，金额为正
复杂度分析
| 指标 | 说明 |
|---|---|
| 时间复杂度 | O(n×amount)：n 为硬币种类数 |
| 空间复杂度 | O(amount)：dp 数组大小 |
| 最优情况 | O(n×amount)：必须填充整个 dp 表 |
| 最坏情况 | O(n×amount)：同上 |
代码实现
- JavaScript
/**
* @param {number[]} coins
* @param {number} amount
* @return {number}
*/
var coinChange = function(coins, amount) {
const dp = new Array(amount+1).fill(amount+1);
dp[0]=0;
for(let i=1;i<=amount;i++){
for(const coin of coins){
if(coin<=i) {
dp[i] = Math.min(dp[i],dp[i-coin]+1)
}
}
}
return dp[amount] === amount+1 ? -1 : dp[amount]
};
- python
def coinChange(coins, amount):
dp = [amount + 1] * (amount + 1)
dp[0] = 0
for i in range(1, amount + 1):
for coin in coins:
if coin <= i:
dp[i] = min(dp[i], dp[i - coin] + 1)
return dp[amount] if dp[amount] <= amount else -1
- rust
pub fn coin_change(coins: Vec<i32>, amount: i32) -> i32 {
let amount = amount as usize;
let mut dp = vec![amount + 1; amount + 1];
dp[0] = 0;
for i in 1..=amount {
for &coin in &coins {
let coin = coin as usize;
if coin <= i {
dp[i] = dp[i].min(dp[i - coin] + 1);
}
}
}
if dp[amount] > amount {
-1
} else {
dp[amount] as i32
}
}
实际应用场景
- 自动售货机：计算最少硬币找零方案`
- 金融系统：债券最小拆分单元计算`
- 游戏设计：道具合成系统资源最小消耗`
- 物流装箱：最小包装箱数量计算`
变种：硬币组合总数
def coinCombinations(coins, amount):
dp = [0] * (amount + 1)
dp[0] = 1 # 金额0有1种方案（不取）
for coin in coins:
for i in range(coin, amount + 1):
dp[i] += dp[i - coin]
return dp[amount]
