引言
——深度解析股票交易三题的核心思想与思维跃迁
当你盯着屏幕上红绿交错、上蹿下跳的K线图时，是否想过：那些让散户抓耳挠腮的买卖时机问题，其实早已被算法精准解构？LeetCode 上的三道经典股票交易题（121、122、123）不仅是面试高频题，更是一场关于选择、策略与思维方式的思维训练。
这三道题层层递进，从"只能买卖一次"到"无限次交易"，再到"最多两次交易"，背后藏着两种核心算法范式：贪心算法与动态规划。它们不只是代码技巧，更是应对复杂决策的智慧模型。
本文将不再满足于"给出代码 + 简单解释"，而是深入剖析每道题的本质结构、关键洞察点和思维跃迁过程，帮助你真正理解："为什么这个思路成立？"、"为什么非得这么设计状态？"、"能不能推广到更多次交易？"
一、LeetCode 121：只能买卖一次 —— "人生没有后悔药"
📌 题目重述：
给定一个数组 prices，prices[i] 表示第 i 天的股价。你最多只能完成一笔交易（即买一次、卖一次），求最大利润。
示例：
[7,1,5,3,6,4]→ 最大利润为 5（第2天买，第5天卖）
❌ 常见误区：暴力枚举所有组合
最直观的想法是双重循环，枚举所有 i < j 的 (buy, sell) 组合，计算差值取最大。
时间复杂度 O(n²)，虽然能过小数据，但在面试中几乎等于"出局"。
✅ 正确打开方式：逆向思维 + 贪心维护历史最优
让我们换一个角度思考：
"如果我在第
i天卖出，那么为了利润最大，我应该在哪一天买入？"
答案很明确：在第 i 天之前价格最低的那一天买入。
也就是说，对于每一个"卖出日" ，我们都希望找到它前面的"最低买入价"。
于是我们可以边遍历数组，边维护两个变量：
遍历每一天的价格 price：
- 更新
minPrice = Math.min(minPrice, price) - 计算"今天卖出"的利润：
profit = price - minPrice - 更新
maxProfit = Math.max(maxProfit, profit)
这样，我们在一次遍历中就完成了全局最优解的搜索。
💡 关键洞察点：
这个问题的本质是：在一个序列中找一对索引 (i, j)，满足 i < j，使得 prices[j] - prices[i] 最大。
这等价于求"最大后缀差"。而贪心策略巧妙地将其转化为一个在线更新问题，避免了回溯或预处理。
| 天数 | 价格 | minPrice | 当天利润 | maxProfit |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 7 | 7 | - | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 2 | 5 | 1 | 4 | 4 |
| 3 | 3 | 1 | 2 | 4 |
| 4 | 6 | 1 | 5 | 5 |
| 5 | 4 | 1 | 3 | 5 |
可以看到，第4天（价格6）时，我们找到了最大利润5（6-1）。
🧠 深层理解：
- 我们不需要知道未来的价格，只需要基于已知信息做出当前最优决策。
- 这正是贪心算法的精髓：局部最优可以推出全局最优。
- 成立的前提是：只能交易一次 → 决策具有无后效性，且目标函数可分解。
✅ 时间复杂度：O(n)
✅ 空间复杂度：O(1)
🌰 代码实现：
这段代码的精妙之处在于：它用最简单的两个变量，完成了对整个交易过程的建模。我们不需要知道"什么时候买入"，只需要知道"当前最低价是多少"；我们也不需要知道"什么时候卖出"，只需要知道"如果今天卖出能赚多少"。
二、LeetCode 122：可以无限次买卖 —— "积小胜为大胜"
📌 题目重述：
允许进行任意多次交易（但不能同时持有多股，必须先卖后买），求最大总利润。
示例：
[7,1,5,3,6,4]→ 可以 1买5卖（+4），3买6卖（+3），总利润 7
❌ 直觉陷阱：找所有上升波段？
有人会想："那我就找出所有的上升区间，比如 [1→5]、[3→6]，然后分别操作。"
听起来合理，但实现起来需要判断何时开始/结束一段上涨，容易出错。
✅ 更优雅的贪心视角：把每一次正向波动都当作机会
关键洞察来了：
任何一次价格上涨，都可以被捕捉为利润！
比如：
- 第2天到第3天：1 → 5，涨了4 → 利润+4
- 第3天到第4天：5 → 3，跌了 → 不操作
- 第4天到第5天：3 → 6，涨了3 → 利润+3
你会发现，只要把所有 prices[i] > prices[i-1] 的差值加起来，结果就是最大利润！
| 天数 | 价格 | 与前一天差值 | 是否累加 | 累计利润 |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 7 | - | - | 0 |
| 1 | 1 | -6 | ❌ | 0 |
| 2 | 5 | +4 | ✅ | 4 |
| 3 | 3 | -2 | ❌ | 4 |
| 4 | 6 | +3 | ✅ | 7 |
| 5 | 4 | -2 | ❌ | 7 |
可以看到，我们累加了两次上涨（4和3），总利润为7。
💡 为什么这是对的？
数学上可以证明：
多次交易的最大利润 = 所有上升区间的总和
为什么？因为你可以"虚拟持有"：
- 如果明天会涨，今天就买入；
- 如果明天会跌，今天就卖出；
虽然现实中无法预知未来，但在算法中，这种"差分累加"等价于你在每个上涨日都完成了"低买高卖"。
🎯 举个例子：
[1,3,5]
- 差分法：(3-1)+(5-3)=2+2=4
- 实际操作：1买5卖，利润4 → 完全一致！
这说明：即使不允许"当天买卖"，这种策略也能通过连续操作实现相同效果。
🧠 思维跃迁：
- 不再关注"什么时候买入/卖出"，而是关注"趋势方向"。
- 将复杂的区间划分问题，简化为简单的差分判断。
- 贪心依然成立，因为每次上涨都是独立可捕获的机会。
✅ 时间复杂度：O(n)
✅ 空间复杂度：O(1)
🌰 代码实现：
这段代码的精妙之处在于：它完全忽略了交易的具体时机，只关注价格变化的方向。就像一个永远乐观的投资者，只要市场有上涨，就抓住每一滴利润。
三、LeetCode 123：最多两次交易 —— 动态规划的经典教学案例
📌 题目重述：
最多允许进行 两笔交易，求最大利润。
示例：
[3,3,5,0,0,3,1,4]→ 最优解是两次交易：0→3 和 1→4，总利润6
❌ 为什么贪心失效？
你可能会想："先做一次最优交易，再在剩余区间做第二次？"
错！因为第一次交易的选择会影响第二次的操作空间。
比如：
- 如果你在
[0,3]卖出太早，可能错过后面的低价[1]； - 或者第一次没卖，导致第二次资金不足……
这说明：决策之间存在依赖关系，不能再用贪心"分而治之"。
我们必须考虑全局状态转移。
✅ 正确解法：动态规划建模四个状态
我们将整个交易过程拆解为四个阶段：
| 状态 | 含义 | 初始值 |
|---|---|---|
buy1 | 第一次买入后的最大利润（花钱，所以是负数） | -prices[0] |
sell1 | 第一次卖出后的最大利润 | 0 |
buy2 | 第二次买入后的最大利润 | -prices[0] |
sell2 | 第二次卖出后的最大利润（最终答案） | 0 |
注意：这里的"利润"是相对初始资金而言的。例如 buy1 = -3 表示花了3块钱买了股票，当前净收益是-3。
🔁 状态转移逻辑（逐日更新）：
对每一天的价格 price[i]，我们按顺序更新四个状态：
💡 为什么这个顺序是对的？
关键在于：我们假设每天都可以"反悔"之前的决策。
比如：
- 昨天
buy1 = -5，今天股价跌到3 → 我们可以把buy1更新为-3，相当于"撤回昨天的买入，改成今天更低点买入"。 - 同理，
sell1可以后续更新为更高点卖出。
这种"允许反悔"的机制，正是 DP 强大的地方：它不是模拟真实交易流程，而是维护"截至目前所有可能路径中的最优状态"。
🧠 深层理解：状态机视角
我们可以把这个过程看作一个有限状态机：
start → buy1 → sell1 → buy2 → sell2
每一天，我们都尝试从上一个状态"推进"到下一个状态，或者保持原地。DP 的作用就是在这条链路上选出最优路径。
🌰 以实例 [3,3,5,0,0,3,1,4] 为例：
让我们一步步追踪状态变化：
| 天数 | 价格 | buy1 | sell1 | buy2 | sell2 |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 3 | -3 | 0 | -3 | 0 |
| 1 | 3 | -3 | 0 | -3 | 0 |
| 2 | 5 | -3 | 2 | -3 | 0 |
| 3 | 0 | 0 | 2 | 2 | 2 |
| 4 | 0 | 0 | 2 | 2 | 2 |
| 5 | 3 | 0 | 2 | 2 | 5 |
| 6 | 1 | 0 | 2 | 1 | 5 |
| 7 | 4 | 0 | 2 | 1 | 6 |
可以看到，最终 sell2 = 6，即最大利润为6，与题目描述一致。
✅ 推广性极强！
这套模式可以轻松扩展到 k 次交易：
这段代码的精妙之处在于：它用四个变量构建了一个"状态机"，每个变量都代表了交易过程中的一个关键节点。通过每天更新这些状态，我们实际上是在模拟所有可能的交易路径，并始终保留最优解。
🧩 总结对比：三种策略的本质区别
| 问题 | 交易次数 | 核心思想 | 算法范式 | 是否依赖历史状态 |
|---|---|---|---|---|
| 121 | 1次 | 抓住最低买入 + 最高卖出 | 贪心 | 只需维护最低价 |
| 122 | 无限次 | 所有上涨都要赚 | 贪心 | 每步独立 |
| 123 | 最多2次 | 平衡前后两次交易 | 动态规划 | 必须记录中间状态 |
🎯 核心结论：
- 贪心适用于"局部最优可累积成全局最优"的场景，如单次交易、每次上涨都赚钱。
- 动态规划适用于"多阶段决策且状态依赖"的问题，尤其是有限次数的资源分配类问题。
🌟 写在最后：算法即人生
这三道题不只是编程练习，更像是人生的隐喻：
- 新手期：追求"一击必杀"，幻想抄到底部逃到顶部 → 结果往往踏空或套牢。
- 成长期：学会"见好就收"，抓住每一个微小机会 → 积累复利。
- 成熟期：懂得"布局未来"，权衡短期利益与长期规划 → 实现系统性胜利。
而算法的魅力就在于：它用最严谨的逻辑，告诉我们——
在不确定的世界里，如何做出确定的选择。
🧠 个人思考：
在刷题的过程中，我逐渐意识到：算法题的本质不是"解题"，而是"建模"。我们需要把现实问题抽象成一个数学模型，然后找到最适合的算法范式。
股票交易题教会我的最重要一课是：不要被表象迷惑。当你看到"股票"、"交易"这些词时，很容易陷入金融思维，想着如何预测价格走势。但算法思维告诉我们：不需要预测未来，只需要对已知信息做出最优响应。
这就像人生中的很多决策：我们无法预知未来，但可以基于当前信息做出最佳选择。贪心算法教会我们抓住当下，动态规划教会我们规划未来。
