只用 Nand 运算符来表示任意的布尔函数

要点

mindmap
      Root(布尔函数)
          A(总可以写成析取范式（DNF）的形式)
            B(DNF中只用到了 And/Or/Not 三种运算)
                C(Or 可以用 And/Not 来表示)
                D(Not 可以用 Nand 来表示)
                E(And 可以用 Nand 来表示)

正文

在 The Elements of Computing Systems 一书的附录 A 中提到

任何布尔函数都可以用只包含 Nand 运算符的表达式表示

我们可以通过以下几步来证明它。

第一步：任何布尔函数都可以写成析取范式（DNF, Disjunctive Normal Form）的形式

我们通过具体的例子来进行说明。假设一个布尔函数 $f(a,b,c)$ 的真值表如下

$a$	$b$	$c$	$f(a, b, c)$
$0$	$0$	$0$	$1$
$0$	$0$	$1$	$1$
$0$	$1$	$0$	$0$
$0$	$1$	$1$	$1$
$1$	$0$	$0$	$1$
$1$	$0$	$1$	$0$
$1$	$1$	$0$	$1$
$1$	$1$	$1$	$0$

在真值表的某些行中，$f(a, b, c)$ 值为 $1$，我们可以为所有这样的行找到对应的最小项(minterm)。例如

• 对 $a=0,b=0,c=0$ 那一行，对应的最小项是 $f_0(a,b,c)=\neg{a} \land \neg{b} \land \neg{c}$
• 对 $a=1,b=1,c=0$ 那一行，对应的最小项是 $f_6(a,b,c)=a \land b \land \neg{c}$

于是，我们可以将 $f(a,b,c)$ 写成一些最小项(minterm)的 或($\lor$)，具体如下

其中

• $f_0(a,b,c)=\neg{a} \land \neg{b} \land \neg{c}$
• $f_1(a,b,c)=\neg{a} \land \neg{b} \land c$
• $f_3(a,b,c)=\neg{a} \land b \land c$
• $f_4(a,b,c)=a \land \neg{b} \land \neg{c}$
• $f_6(a,b,c)=a \land b \land \neg{c}$

基于以上结果，我们可以画一个详细的真值表 ⬇️ （$a$,$b$,$c$ 三列是输入，其他列是计算结果）

$a$	$b$	$c$	$f(a, b, c)$	$f_0(a, b, c)$	$f_1(a, b, c)$	$f_3(a, b, c)$	$f_4(a, b, c)$	$f_6(a, b, c)$
$0$	$0$	$0$	$1$	$1$	$0$	$0$	$0$	$0$
$0$	$0$	$1$	$1$	$0$	$1$	$0$	$0$	$0$
$0$	$1$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
$0$	$1$	$1$	$1$	$0$	$0$	$1$	$0$	$0$
$1$	$0$	$0$	$1$	$0$	$0$	$0$	$1$	$0$
$1$	$0$	$1$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
$1$	$1$	$0$	$1$	$0$	$0$	$0$	$0$	$1$
$1$	$1$	$1$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$

第二步：任何布尔函数都可以用只包含与(And)/或(Or)/非(Not)运算的布尔表达式表示

在第一步中，我们通过一个例子说明了任何布尔函数都可以写成 析取范式（即 最小项 的 或）的形式，而 最小项 中只用到了 非(Not) 运算和 与(And) 运算。在析取范式中，我们是用 或(Or) 运算将 最小项 连接起来的，所以 析取范式 中只用到了 与(And)/或(Or)/非(Not) 三种运算。所以任何布尔函数都可以用只包含 与(And)/或(Or)/非(Not)运算 的布尔表达式表示。

第三步：任何布尔函数都可以用只包含非(Not)和与(And)运算符的布尔表达式表示

或(Or)运算的真值表如下

$a$	$b$	$a\lor b$
$0$	$0$	$0$
$0$	$1$	$1$
$1$	$0$	$1$
$1$	$1$	$1$

不难验证，$a\lor b$ 的真值表和 $\neg{(\neg{a}\land \neg{b})}$ 的真值表相同 ⬇️ （$a$,$b$ 两列是输入，其他列是计算结果）

$a$	$b$	$\neg{a}$	$\neg{b}$	$\neg{a}\land \neg{b}$	$\neg{(\neg{a}\land \neg{b})}$
$0$	$0$	$1$	$1$	$1$	$0$
$0$	$1$	$1$	$0$	$0$	$1$
$1$	$0$	$0$	$1$	$0$	$1$
$1$	$1$	$0$	$0$	$0$	$1$

所以在析取范式的基础上，我们可以用 非(Not)/与(And) 运算来替代所有的 或(Or) 运算，这样我们就可以只用 非(Not) 和 与(And) 运算符来表达任意的布尔函数。

第四步：任何布尔函数都可以用只包含 Nand 运算符的表达式表示

在第三步中，我们已经证明了任何布尔函数都可以用只包含 非(Not) 和 与(And) 运算符的布尔表达式表示。所以如果我们能用 Nand 运算符来替代 非(Not) 以及 与(And) 运算符，那么就可以证明任何布尔函数都可以用只包含 Nand 运算符的表达式表示。

非(Not) 运算符的真值表如下

$a$	$\neg{a}$
$0$	$1$
$1$	$0$

因为 $\text{Nand}(a, b)=\neg{(a\land b)}$，可以得出 Nand 运算符的真值表如下 ⬇️

$a$	$b$	$\text{Nand}(a, b)$
$0$	$0$	$1$
$0$	$1$	$1$
$1$	$0$	$1$
$1$	$1$	$0$

所以 $\neg{a}=\text{Nand}(a, a)$，可见 Nand 运算符可以替代 非(Not) 运算符。

因为

而 非(Not) 运算符可以用 Nand 运算符来表示，所以 Nand 运算符可以替代 与(And) 运算符。

至此，我们证明了

任何布尔函数都可以用只包含 Nand 运算符的表达式表示

总结

我们通过如下的方式证明了，任何布尔函数都可以用只包含 Nand 运算符的表达式表示 ⬇️

1. 任何布尔函数可以写成对应的 DNF
2. DNF 中只包含 And/Or/Not 运算符（用 And/Or/Not 运算符可以表示任意的布尔函数）
3. Or 运算符可以用 And 和 Not 运算符来替代 （用 And/Not 运算符可以表示任意的布尔函数）
4. Not 运算符和 And 运算符都可以用 Nand 运算符来替代 （用 Nand 运算符可以表示任意的布尔函数）

可以把证明中关于 And/Or/Not 的部分写成 ⬇️

• Not: $\neg{a}=\text{Nand}(a,a)$
• And: $a\land b=\neg{\text{Nand}(a,b)}=\text{Nand}(\text{Nand}(a,b),\text{Nand}(a,b))$
• Or: $a\lor b= \neg{(\neg{a}\land \neg{b})}=\text{Nand}(\text{Nand}(a,a),\text{Nand}(b,b))$

参考资料

• The Elements of Computing Systems