Leetcode: 比特位计数

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题目描述

给定一个非负整数 n，计算从 0 到 n 的每个数字的二进制表示中 1 的个数，并以数组形式返回。要求：

• 算法时间复杂度为 O(n)O(n)
• 空间复杂度为 O(n)O(n)

解题思路

核心思想：利用动态规划高效计算二进制中1的个数，通过已计算的结果推导新值。

1. 动态规划方法：

   • 状态定义：dp[i] 表示数字 i 的二进制中 1 的数量
   • 转移方程：
     • dp[i] = dp[i >> 1] + (i & 1)
     • 解释：数字 i 的 1 的数量 = i/2 的 1 的数量 + i 的最低位是否为 1
   • 初始化：dp = 0

2. 关键特性：

   • 奇偶规律：
     • 偶数：dp[i] = dp[i/2]（最低位为0）
     • 奇数：dp[i] = dp[i/2] + 1（最低位为1）
   • 位运算优化：使用 i >> 1 代替除法，i & 1 代替取模

复杂度分析

指标	值	说明
时间复杂度	O(n)O(n)	只需遍历一次数组
空间复杂度	O(n)O(n)	存储结果数组

代码实现

• JavaScript

var countBits = function(n) {
    const dp = new Array(n + 1).fill(0);
    for (let i = 1; i <= n; i++) {
        dp[i] = dp[i >> 1] + (i & 1);
    }
    return dp;
};

• python

def countBits(n: int) -> list[int]:
    dp = [0] * (n + 1)
    for i in range(1, n + 1):
        dp[i] = dp[i >> 1] + (i & 1)
    return dp

• rust

impl Solution {
    pub fn count_bits(n: i32) -> Vec {
        let n = n as usize;
        let mut dp = vec![0; n + 1];
        for i in 1..=n {
            dp[i] = dp[i >> 1] + (i & 1) as i32;
        }
        dp
    }
}

实际应用场景

1. 加密算法：快速计算汉明权重（如SHA-256）
2. 图像处理：二进制图像的特征提取
3. 数据压缩：评估二进制数据的熵值
4. 遗传算法：计算DNA序列的相似度
5. 错误检测：CRC校验中的位计算

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