天平找假币问题（二分查找）

有数量为n的硬币，和一个天平，已知其中有一个假币，且假币比真币轻，请找出这枚假币。

把硬币两半分，假币就在轻的一堆，然后不断的分成均匀的两堆，最后总能找出假币。

解题思路

采用三分法称重。

1. 将 nn 个硬币分为三组：A、B、C，保证 A 和 B 的硬币数相同，且 A 与 C 的硬币数最多相差一个。

2. 先将 A 和 B 放在天平两端称重，根据结果判断假币所在组：

   • 若 A < B，说明假币在 A 中（较轻）；
   • 若 A > B，说明假币在 B 中；
   • 若 A = B，说明假币在 C 中。

3. 每次称重后，要么找到假币（当某组只剩一枚硬币），要么问题规模缩小为约 n/3n/3。

4. 因此，最多称重次数为 C(n)=⌈log⁡3n⌉C(n)=⌈log3​n⌉。

示例

以 n=101n=101 为例的称重过程：

1. 第一次称重：
   将 101 枚硬币分为 A34、B34、C33（A、B 各 34 枚，C 为 33 枚）。
   称 A34 与 B34：

   • 若 A < B，假币在 A34 中；
   • 若 A > B，假币在 B34 中；
   • 若 A = B，假币在 C33 中。
     由此确定假币在哪一份中。

2. 第二次称重：
   假设假币在 A34 中，将 A34 再分为三份：AA11、BA11、CA12（AA 与 BA 各 11 枚，CA 为 12 枚）。
   称 AA11 与 BA11：

   • 若 AA < BA，假币在 AA11 中；
   • 若 AA > BA，假币在 BA11 中；
   • 若 AA = BA，假币在 CA12 中。
     确定假币在哪一份中。

3. 第三次称重：
   假设假币在 AA11 中，将 AA11 再分为三份：AAA4、BAA4、CAA3（AAA 与 BAA 各 4 枚，CAA 为 3 枚）。
   称 AAA4 与 BAA4，确定假币在哪一份中。

4. 第四次称重：
   假设假币在 AAA4 中，将 AAA4 再分为三份：AAAA1、BAAA1、CAAA2（AAAA 与 BAAA 各 1 枚，CAAA 为 2 枚）。
   称 AAAA1 与 BAAA1：

   • 若不等，轻者为假币；
   • 若相等，假币在 CAAA2 中。

5. 第五次称重：
   若假币在 CAAA2（2 枚硬币）中，只需称其中一枚与一枚已知真币，即可确定哪一枚是假币。