算术运算 (Arithmetic Operations)
1. 概念介绍
算术运算是编程中最基本、最常见的运算，用于执行基本的数学计算。它们对数字（整数或浮点数）进行操作，并返回一个数字结果。
- 加法 (
+) : 两数相加。 - 减法 (
-) : 两数相减。 - 乘法 (
*) : 两数相乘。 - 除法 (
/) : 两数相除。 -
- 如果操作数均为整数，则执行整除，结果的小数部分被舍弃。例如
7 / 3结果是2。 - 如果至少有一个操作数是浮点数，则执行浮点除法。例如
7.0 / 3结果是2.333...。
- 如果操作数均为整数，则执行整除，结果的小数部分被舍弃。例如
- 求余/取模 (
%) : 计算第一个操作数除以第二个操作数后的余数。此运算仅适用于整数。例如7 % 3结果是1。
2. 算法步骤
算术运算的执行遵循标准的数学运算顺序（PEMDAS/BODMAS）：
- 括号
(): 首先计算括号内的表达式。 - 乘
*、除/、求余%: 这些运算符优先级相同，从左到右计算。 - 加
+、减-: 这些运算符优先级相同，从左到右计算。
例如，计算 a + b * c 时，会先计算 b * c，然后将结果与 a 相加。
3. 算法可视化SVG图示
下图展示了一个典型的二元算术运算流程：两个输入（操作数）经过一个运算符处理，得到一个输出（结果）。
4. 核心特性
- 优先级: 乘、除、模运算的优先级高于加、减。
- 结合性: 都是从左到右结合（
a - b - c等同于(a - b) - c）。 - 类型提升: 当不同类型的数字一起运算时，较小的类型会自动提升为较大的类型。例如，
int和double运算，int会先被转换为double，结果也是double。 - 整数溢出: 当运算结果超出该整数类型能表示的范围时，会发生溢出，导致结果不正确（通常是回绕，例如最大整数加1变成最小整数）。
5. C++代码基础实现
#include <iostream>
int main() {
int a = 10, b = 3;
double c = 10.0, d = 3.0;
// 加法
std::cout << "a + b = " << (a + b) << std::endl; // 13
// 减法
std::cout << "a - b = " << (a - b) << std::endl; // 7
// 乘法
std::cout << "a * b = " << (a * b) << std::endl; // 30
// 整除
std::cout << "a / b = " << (a / b) << std::endl; // 3
// 浮点除法
std::cout << "c / d = " << (c / d) << std::endl; // 3.33333
// 求余
std::cout << "a % b = " << (a % b) << std::endl; // 1
return 0;
}
6. 优化策略
- 避免不必要的浮点运算: 整数运算通常比浮点运算快得多。如果问题可以用整数解决，尽量避免使用
double或float。 - 使用位运算替代: 对于乘以或除以2的幂次方的运算，可以使用位移运算（见后文），效率更高。例如
x * 2可以写成x << 1。 - 注意数据类型: 在处理大数时，使用
long long防止int溢出。
7. 优缺点
- 优点: 直观，符合数学直觉，是所有计算的基础。
- 缺点:
-
- 精度问题: 浮点数运算存在精度误差。
- 溢出问题: 整数运算有范围限制，可能导致溢出。
- 除以零: 除数为零会导致运行时错误。
8. 应用场景
- 数值计算: 几乎所有的科学计算、数据分析、金融建模等。
- 计数与统计: 计算总和、平均值、频率等。
- 几何问题: 计算坐标、距离、面积等。
- 算法基础: 递推、迭代、动态规划等算法中频繁使用。
9. 扩展
- 复合赋值运算符:
+=,-=,*=,/=,%=。例如a += b等价于a = a + b。 - 数学库
<cmath>: 提供更复杂的数学函数，如pow(x, y)(幂),sqrt(x)(平方根),sin(x)(正弦)等。
10. 课后配套练习及答案
练习1: A+B 问题输入两个整数a和b，输出它们的和。
// 答案
#include <iostream>
int main() {
int a, b;
std::cin >> a >> b;
std::cout << a + b << std::endl;
return 0;
}
练习2: 矩形周长和面积输入矩形的长和宽（整数），计算并输出其周长和面积。
// 答案
#include <iostream>
int main() {
int length, width;
std::cin >> length >> width;
int perimeter = 2 * (length + width);
int area = length * width;
std::cout << "Perimeter: " << perimeter << std::endl;
std::cout << "Area: " << area << std::endl;
return 0;
}
练习3: 苹果和盘子有m个苹果，n个盘子。将苹果平均分到盘子里，计算每个盘子分到多少个苹果，还剩下多少个？
// 答案
#include <iostream>
int main() {
int apples, plates;
std::cin >> apples >> plates;
int per_plate = apples / plates;
int remaining = apples % plates;
std::cout << "Apples per plate: " << per_plate << std::endl;
std::cout << "Remaining apples: " << remaining << std::endl;
return 0;
}
练习4: 华氏度转摄氏度输入一个华氏温度F，根据公式 C = 5/9 * (F-32) 计算并输出摄氏温度C。注意整数除法问题。
// 答案
#include <iostream>
#include <iomanip> // 用于设置输出精度
int main() {
double fahrenheit;
std::cin >> fahrenheit;
// 必须使用浮点数进行计算，否则 5/9 会变成 0
double celsius = 5.0 / 9.0 * (fahrenheit - 32);
std::cout << std::fixed << std::setprecision(2) << celsius << std::endl;
return 0;
}
练习5: 三位数各位数字之和输入一个三位正整数，计算并输出其个位、十位、百位数字之和。
// 答案
#include <iostream>
int main() {
int num;
std::cin >> num;
int hundreds = num / 100;
int tens = (num / 10) % 10;
int ones = num % 10;
int sum = hundreds + tens + ones;
std::cout << "Sum of digits: " << sum << std::endl;
return 0;
}
11. 相关网络资源推荐
- C++ 运算符 - Cplusplus.com
- 基本算术 - Khan Academy
- C++ 算术运算符 - cppreference.com
