# 二分查找：当纸张折叠100次，遇见算法的诗意

🌌 二分查找：当折叠的纸张遇见算法的诗意

"在有序的世界里，每一次对分都是一次智慧的修行"

📜 缘起：纸张的奇幻旅程

让我们开始一场思想的实验。取一张寻常的A4纸，厚度约 0.1毫米。现在，想象你拥有神奇的力量，能够将它对折100次。

折叠次数	厚度	诗意描述
🌀 第1次	0.2mm	尚在掌握之中
🌀 第10次	10cm	如书本般厚重
🌙 第42次	44万公里	足以抵达月球
☀️ 第51次	2.2亿公里	已超越太阳
🌌 第100次	1.27×10²³公里	在宇宙尺度绵延

这不仅是数学的奇迹，更是二分思想的完美诠释：每一次用心的折叠，都在开启指数增长的无限可能。

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💫 二分查找：算法世界中的优雅舞者

在编程的宇宙里，二分查找便是这样一位优雅的舞者。她只在有序的舞台上绽放，却能用最少的步数，找到心中的答案。

🎯 算法的诗意表达

int binarySearch(int[] arr, int target) {
    int left = 0;                       // 🚶 启程于起点，区间左边界
    int right = arr.length - 1;         // 🏔️ 遥望着远方，区间右边界
    
    while (left <= right) {             // 💫 只要希望还在，左边界要小于右边界
        int mid = left + (right - left) / 2;  // ⚖️ 取中而立，不偏不倚，这个用来和目标值作比较
        
        if (arr[mid] == target) {
            return mid;                 // 🎉 蓦然回首，那人却在灯火阑珊处，找到目标值，return 结果
        } else if (arr[mid] < target) {
            left = mid + 1;             // ➡️ 目标在前方，迈步向前，目标值比当前值大，说明在更右侧，将左边界右移，移到当前值的位置
        } else {
            right = mid - 1;            // ⬅️ 目标在身后，转身追寻，目标值比当前值小，说明在更左侧，将右边界左移，移到当前值的位置
        }
    }
    return -1;                         // 😔 寻寻觅觅，终是缘悭一面，没有找到，唉，遗憾了！！！
}

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🎨 图解二分查找：一场精准的寻宝之旅

让我们通过寻找数字 23 的旅程，可视化二分查找的精妙过程：

🔍 寻找数字 23

初始数组: [2, 5, 8, 12, 16, 23, 38, 45, 67, 89] 目标值: 23

graph TD
    A[初始: 0-9, mid=4, val=16] --> B{16 < 23?}
    B -->|是| C[向右: 5-9]
    B -->|否| D[向左: 0-3]
    
    C --> E{45 > 23?}
    E -->|是| F[向左: 5-6]
    E -->|否| G[向右: 8-9]
    
    F --> H{23 = 23?}
    H -->|是| I[找到目标!]
    H -->|否| J[继续]

📊 搜索过程详解

步骤	区间	中间索引	中间值	比较结果	动作
1️⃣	[0, 9]	4	16	16 < 23	➡️ 向右搜索
2️⃣	[5, 9]	7	45	45 > 23	⬅️ 向左搜索
3️⃣	[5, 6]	5	23	23 == 23	🎯 找到目标

✨ 仅用3次比较，就在10个元素中找到了目标！ 线性搜索最坏需要10次，二分查找展现了其对数级的高效本质。

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🌟 实际问题：寻找生命中的"合格元素"

💭 问题的哲学思考

我们常常在问：在生命的序列中，有多少个"我"，能够找到足够多的榜样引领前行？

用算法的语言表述：给定数组nums和整数k，统计有多少元素满足——至少存在k个元素，如明灯般照亮前路，严格大于它。

🌈 示例的启示

// 示例1: 多样化的世界
nums = [3, 1, 2], k = 1
✅ 元素1和2都找到了引领自己的光芒
🎯 答案: 2

// 示例2: 同质化的世界  
nums = [5, 5, 5], k = 2
❌ 所有人都站在同一高度，失去了相互照耀的可能
🎯 答案: 0

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⚡ 解决方案对比

🐌 朴素解法：力竭的守望者

/**
 * 🌿 朴素解法：力竭的守望者
 * 如同让每个人亲自数尽满天繁星
 * 虽真诚，却难免力不从心
 * 
 * @param nums 众生序列，如星河般排列
 * @param k 期待的引路者数量
 * @return 找到足够引路者的灵魂个数
 */
public int countElementsBruteForce(int[] nums, int k) {
    int count = 0;  // 🎯 记录合格灵魂的数量
    
    // 🌀 为序列中的每个灵魂，寻找前方的引路者
    for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
        int greaterCount = 0;  // ✨ 记录比当前灵魂更明亮的星辰
        // 🌌 遍历整片星空，清点引路者
        for (int j = 0; j < nums.length; j++) {  // 🔁 双重循环的宿命
            if (nums[j] > nums[i]) {
                greaterCount++;  // 💫 又发现一颗引路星辰
            }
        }
        // 🌟 如果找到了足够的引路者
        if (greaterCount >= k) {
            count++;  // 🎉 这个灵魂是合格的，值得庆贺
        }
    }
    return count;  // 🌈 返回所有找到光明的灵魂
}

⏰ 时间复杂度: O(n²)
💔 当 n=10⁵ 时: 需要 10¹⁰ 次比较，如数尽满天繁星，终将力竭而止。

🚀 二分解法：智慧的引路人

public int countElements(int[] nums, int k) {
    int[] sorted = nums.clone();
    Arrays.sort(sorted);  // 🌟 先建立秩序
    int n = nums.length;
    int count = 0;
    for (int x : nums) {
        // 🔍 在有序世界中寻找引路者
        int lo = 0, hi = n;
        while (lo < hi) {
            int mid = lo + (hi - lo) / 2;  // ⚖️ 中庸之道
            if (sorted[mid] <= x) {
                lo = mid + 1;              // ➡️ 光明在右
            } else {
                hi = mid;                  // ⬅️ 光明在左
            }
        }
        int greaterCount = n - lo;         // ✨ 计算引路者数量
        if (greaterCount >= k) count++;    // ✅ 合格元素
    }
    return count;
}

⏰ 时间复杂度: O(n log n)
💖 效率提升: 从混沌到有序的智慧跃迁

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🎯 图解上界查找：寻找第一个超越者

让我们可视化在排序数组中寻找第一个大于目标值的过程：

排序数组: [2, 5, 8, 12, 16, 23, 23, 23, 38, 45]
目标值: 23

graph LR
    A[初始: lo=0 hi=9 mid=4 val=16] --> B[16<=23: lo=5]
    B --> C[第二轮: lo=5 hi=9 mid=7 val=23]
    C --> D[23<=23: lo=8]
    D --> E[第三轮: lo=8 hi=9 mid=8 val=38]
    E --> F[38>23: hi=8]
    F --> G[找到位置8]

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🌈 二分思想的万千化身

变体类型	功能描述	应用场景
🎯 精确查找	找到目标值的确切位置	基础搜索
📍 下界查找	找到第一个≥目标值的位置	范围查询
🚀 上界查找	找到第一个 > 目标值的位置	本文问题

// 🚀 上界查找：寻找第一个超越目标的光芒
int findFirstGreater(int[] arr, int target) {
    int left = 0, right = arr.length;
    while (left < right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;  // ⚖️ 平衡之美
        if (arr[mid] <= target) {
            left = mid + 1;  // ➡️ 目标尚远，继续前行
        } else {
            right = mid;     // ⬅️ 目标已近，细细分辨
        }
    }
    return left;  // 🌟 返回第一个超越的索引
}

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💫 算法如诗：应用的艺术殿堂

应用领域	诗意描述	技术实现
数学求根	在连续函数中寻找命运的转折点	二分法求零点
最优化	在约束框架内追求极致的完美	二分答案
范围查询	在有序序列中定位生命坐标	本文实例
数据库索引	为海量数据建立快速通途	B-tree索引

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🌟 结语：算法的诗意栖居

让我们再次回望那张折叠100次的纸，它诉说着：

"指数增长的力量，源于每一次用心的对分选择"

二分查找，这个看似简单的算法，蕴含着深刻的生命哲理：

• 🌱 排序是前提：先建立内在秩序，方能高效前行
• 🧠 分治是智慧：面对复杂，懂得分解，方见真章
• ⚡ 对数是效率：用最少的步骤，抵达最远的彼岸

在编程的道路上，当"有序"与"查找"相逢，二分查找便是那首最美的诗，等待我们用代码书写生命的算法。

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📚 延伸阅读

graph TB
    A[二分查找] --> B[基础变体]
    A --> C[应用扩展]
    
    B --> B1[精确查找]
    B --> B2[下界查找]
    B --> B3[上界查找]
    
    C --> C1[二分答案]
    C --> C2[旋转数组搜索]
    C --> C3[峰值查找]

每种变体都在特定的场景下绽放独特的光彩，等待你去探索发现。