最小栈（Min Stack）详解：用辅助栈实现 O(1) 获取最小值 ✨在算法与数据结构中，最小栈（Min Stack）

在算法与数据结构中，最小栈（Min Stack）是一个经典问题 🧠。它要求我们设计一个栈，除了支持常规的 push、pop、top 操作外，还能以 O(1) 时间复杂度获取当前栈中的最小元素。

本文将从问题出发，逐步引导你理解如何通过 辅助栈（Auxiliary Stack）高效实现最小栈，并深入探讨其背后的原理——单调栈思想 ⚙️。

一、问题描述 📌

设计一个栈，支持以下操作：

push(x) ➕：将元素 x 压入栈
pop() ➖：移除栈顶元素
top() 🔝：获取栈顶元素
getMin() 📉：获取栈中的最小元素

✅ 所有操作的时间复杂度应为 O(1) 。

二、朴素解法（O(n) 获取最小值）⚠️

最直接的想法是：每次调用 getMin() 时遍历整个栈，找出最小值。

// ES5 构造函数实现（朴素版）
const MinStack = function () {
  this.stack = [];
};

MinStack.prototype.push = function (x) {
  this.stack.push(x);
};

MinStack.prototype.pop = function () {
  return this.stack.pop();
};

MinStack.prototype.top = function () {
  if (this.stack.length === 0) return undefined;
  return this.stack[this.stack.length - 1];
};

MinStack.prototype.getMin = function () {
  let min = Infinity;
  for (let i = 0; i < this.stack.length; i++) {
    min = Math.min(min, this.stack[i]);
  }
  return min;
};

✅ 优点：逻辑简单，空间占用少（仅一个栈）
❌ 缺点：getMin() 时间复杂度为 O(n) ，不满足题目要求 ❌

三、优化方案：引入辅助栈（O(1) 获取最小值）🚀

为了实现 O(1) 的 getMin()，我们需要 空间换时间 💾 —— 使用一个 辅助栈（minStack）来实时维护当前栈中的最小值。

🔑 核心思想

主栈 stack：正常存储所有元素
辅助栈 minStack：单调非递增栈，栈顶始终是当前主栈中的最小值

📌 单调栈：一种特殊的栈结构，其中元素按某种顺序（如非递增或非递减）排列。这里我们维护一个 非递增 的辅助栈。

🛠️ 操作规则

操作	主栈行为	辅助栈行为
`push(x)` ➕	压入 x	若 `minStack` 为空或 `x <= minStack.top()`，则压入 x
`pop()` ➖	弹出栈顶	若弹出的元素等于 `minStack.top()`，则 `minStack` 也弹出
`getMin()` 📉	—	直接返回 `minStack.top()`

⚠️ 注意：使用 <= 而非 < 是为了处理 重复最小值 的情况。例如连续 push 两个 1，若只用 <，第二个 1 不会进入辅助栈，导致 pop 第一个 1 后最小值丢失！

四、代码实现（ES5 构造函数）💻

const MinStack = function () {
  this.stack = [];      // 主栈
  this.minStack = [];   // 辅助栈（单调非递增）
};

MinStack.prototype.push = function (x) {
  this.stack.push(x);
  // 当 minStack 为空，或 x 小于等于当前最小值时，入辅助栈
  if (this.minStack.length === 0 || x <= this.minStack[this.minStack.length - 1]) {
    this.minStack.push(x);
  }
};

MinStack.prototype.pop = function () {
  const top = this.stack.pop();
  // 如果弹出的元素等于当前最小值，则辅助栈也要弹出
  if (top !== undefined && top === this.minStack[this.minStack.length - 1]) {
    this.minStack.pop();
  }
  return top;
};

MinStack.prototype.top = function () {
  if (this.stack.length === 0) return undefined;
  return this.stack[this.stack.length - 1];
};

MinStack.prototype.getMin = function () {
  if (this.minStack.length === 0) return undefined;
  return this.minStack[this.minStack.length - 1];
};

五、示例演示 🎯

假设执行以下操作序列：

const ms = new MinStack();
ms.push(-2);
ms.push(0);
ms.push(-3);
console.log(ms.getMin()); // → -3 📉

ms.pop();
console.log(ms.top());    // → 0 🔝
console.log(ms.getMin()); // → -2 📉

内部状态变化：

操作	`stack`	`minStack`	`getMin()`
`push(-2)`	`[-2]`	`[-2]`	`-2`
`push(0)`	`[-2, 0]`	`[-2]`	`-2`
`push(-3)`	`[-2, 0, -3]`	`[-2, -3]`	`-3` ✅
`pop()`	`[-2, 0]`	`[-2]`	`-2` ✅

可以看到，minStack 始终保持非递增，且栈顶即为当前最小值 🎯。

六、为什么这是“单调栈”？🧩

辅助栈 minStack 实际上是一个 单调非递增栈（Monotonic Non-Increasing Stack）：

✅ 每次只有当新元素 不大于 当前栈顶时才入栈
✅ 这保证了栈中元素从底到顶 不增加
✅ 因此，栈顶永远是最小值，且在主栈弹出最小值时，辅助栈同步弹出，下一个最小值自然浮出

这种设计巧妙地利用了栈的 后进先出（LIFO）特性与单调性，实现了高效的最小值维护 💡。

七、复杂度分析 📊

操作	时间复杂度	空间复杂度
`push` ➕	O(1)	O(1)（均摊）
`pop` ➖	O(1)	O(1)
`top` 🔝	O(1)	O(1)
`getMin` 📉	O(1)	O(1)

总空间复杂度：O(n)，最坏情况下（如输入序列单调递减），辅助栈与主栈大小相同。

八、常见误区与注意事项 ⚠️

比较条件必须用 <=
🔸 若用 <，重复最小值会导致辅助栈提前弹空，后续 getMin() 出错！
边界判断不可少
🔸 在 pop 和 top 中需检查栈是否为空，避免访问 undefined。
不要混淆“最小值”和“全局最小”
🔸 getMin() 返回的是 当前栈内 的最小值，不是历史最小。

九、总结 🎉

最小栈问题通过引入 辅助栈，将 getMin() 从 O(n) 优化到 O(1)，是 空间换时间 的经典范例 💎。其核心在于利用 单调栈 的思想，让辅助栈始终保持非递增结构，从而在任意时刻都能快速访问最小值。

掌握这一技巧，不仅能解决 LeetCode 第 155 题，还能为后续学习更复杂的单调栈应用（如滑动窗口最大值、柱状图最大矩形等）打下坚实基础 🚀。

💡 思考题：能否只用一个栈实现最小栈？（提示：可以，但需要对入栈元素进行编码，牺牲数值范围换取空间）