[基础算法学习] 完全二叉树的节点个数，你真的会求吗？

完全二叉树的节点个数，你真的会求吗？

题目链接：LeetCode 222. 完全二叉树的节点个数

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暴力解法

求一个完全二叉树的节点个数，最直接的想法就是遍历整棵树的所有节点，时间复杂度为 $O(N)$。

代码实现：

class Solution:
    def countNodes(self, root: Optional[TreeNode]) -> int:
        if not root:
            return 0
        return 1 + self.countNodes(root.left) + self.countNodes(root.right)

这里使用递归：1 + self.countNodes(root.left) + self.countNodes(root.right) 表示当前节点数 + 左子树节点数 + 右子树节点数。

但问题在于：这个解法与完全二叉树毫无关系，任何二叉树都可以用这个方法求解。

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利用完全二叉树的性质优化

完全二叉树有以下重要性质：

1. 除了最后一层，其他层的节点都是满的
2. 最后一层的节点都集中在左侧

利用这些性质，我们可以优化算法。

核心思想

对于完全二叉树的根节点 root，它的左子树 root.left 和右子树 root.right 一定满足以下规律：

定义函数 $f(node)$ 表示以节点 node 为根的完全二叉树的节点个数，$h(node)$ 表示树的高度，则：

分类讨论

情况 1：左右子树高度相同

当 $h(root.left) = h(root.right)$ 时，根据完全二叉树的性质，左子树一定是满二叉树（因为最后一层优先填充左侧）。

此时：节点总数 = 左子树节点数 $2^{h(root.left)}$ + 右子树节点数 $f(root.right)$

情况 2：左子树高度更高

当 $h(root.left) > h(root.right)$ 时，说明最后一层还没填到右子树，因此右子树一定是满二叉树。

参考下图：

此时：节点总数 = 右子树节点数 $2^{h(root.right)}$ + 左子树节点数 $f(root.left)$

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优化代码实现

class Solution:
    def countNodes(self, root: Optional[TreeNode]) -> int:
        if not root:
            return 0
        
        # 计算左右子树高度
        left_height = self.getHeight(root.left)
        right_height = self.getHeight(root.right)
        
        if left_height == right_height:
            # 左子树是满二叉树
            return (1 << left_height) + self.countNodes(root.right)
        else:
            # 右子树是满二叉树
            return (1 << right_height) + self.countNodes(root.left)
    
    def getHeight(self, node: Optional[TreeNode]) -> int:
        """计算树的高度（只需沿着左侧路径）"""
        height = 0
        while node:
            height += 1
            node = node.left
        return height

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(\log^2 N)$
  • 每次递归需要 $O(\log N)$ 计算高度
  • 最多递归 $O(\log N)$ 层
• 空间复杂度：$O(\log N)$（递归栈深度）

相比暴力解法的 $O(N)$，这是一个显著的优化！

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小技巧

• 1 << k 等价于 $2^k$，位运算更高效
• 计算高度时只需沿着左侧路径，因为完全二叉树的左侧最深