从零开始的深度学习入门（3）

前面举例的user-item矩阵中的值为评分，这属于一种简单的显式情况，事实上，在实际应用中，更多的情况下收集的数据为观看时间，点击次数等用户的行为。对于这些数据的求解，我们一般按如下步骤

1. 首先定义置信度：

$c_{ui} = 1 + \alpha r_{ui}$

其值代表某一商品对某一用户的重要性，其中r为点击次数：置信度默认为1，表示用户没有产生行为的商品;行为越多，置信度越大

2. 重新定义评分矩阵：

$p_{ui} = \begin{cases} 1 & r_{ui} > 0 \\ 0 & r_{ui} = 0 \end{cases}$

3. 重新定义目标函数：

$G(x_*, y_*) = \left( \sum_{u,i} c_{ui} (p_{ui} - x_u^T y_i)^2 \right) + \lambda \left( \sum_{u} ||x_u||^2 + \sum_{i} ||y_i||^2 \right)$

总结起来就是置信度越大的你得预测的越准，要不损失就大了

求解过程依旧交替使用最小二乘法，固定Y优化X，再固定X优化Y

附：最小二乘法的解释（引用自ds）

一个简单的例子：身高与体重

假设我们收集了5个人的身高和体重数据，想找出身高与体重之间的关系。

人物	身高 (x)	体重 (y)
A	160 cm	55 kg
B	165 cm	60 kg
C	170 cm	65 kg
D	175 cm	70 kg
E	180 cm	75 kg

我们在坐标系上画出这五个点：

我们的任务：  找到一条直线 y = kx + b，能最好地拟合这五个点。其中 k 是斜率，b 是截距。

最小二乘法的工作：

1. 任意画一条直线 y = kx + b。
2. 计算每个数据点根据它的x坐标，在直线上对应的点 (x, kx+b)，然后计算真实体重y与直线上对应点的高度 (kx+b) 的垂直距离，即 误差 = y - (kx + b)。
3. 由于误差有正有负，我们将其平方，得到 误差² = [y - (kx + b)]²。
4. 把所有5个点的误差平方加起来，得到总误差 S = Σ[y - (kx + b)]²。
5. 通过数学方法（求导数并令其为零）找到一对最佳的 k 和 b，使得总误差 S 达到最小值。

对于上面这个简单的数据集，我们可以计算出最优解是 k = 1.0, b = -105。也就是说，最佳拟合直线是：
体重 = 1.0 × 身高 - 105