动态规划从思路到解题最近在刷leetcode动态规划的部分，感觉这部分挺有意思的，想起来好久没有写博客，因此来分享一下自

最近在刷leetcode动态规划的部分，感觉这部分挺有意思的，想起来好久没有写博客，因此来分享一下自己在写动态规划题目时的一点点感悟。

动态规划是什么

动态规划（Dynamic Programming，DP）是运筹学的一个分支，是求解决策过程最优化的过程。 它将复杂的问题简单化，能减少不必要的计算，从而提升运算的效率，常用于解决最优子结构和重叠子结构的问题。

以上的回答来自百度百科，可能有点抽象，但是简单来说，动态规划解决问题的关键是依靠将问题拆分成子问题，不断优化子结构，从而得到答案。

下面，我们从一道最简单的动态规划问题出发，了解一下动态规划的解决过程。

动态规划基础

求出第n个斐波那契数列。 斐波那契数列： n = （n-1） + （n-2）

在看到这道题的时候，可能会下意识用递归来做

function fib(n){
    if(n==1||n==2){
        return 1
    }
    
    return fib(n-1)+fib(n-2)
}

但是这样子是会超时的，为什么呢？我们将解题过程具体化：

我们会发现3的部分被计算了两次，如果n越多，重复计算的就越多，如果能节约这些计算的过程就好了。

因此，我们可以定义dp数组为dp[i]是第i个斐波那契数，存储之前求出的解，这样子就能有效的避免重复运算，这就是动态规划的核心，从最优子结构出发一步步优化，最后得出答案。

// 分解子问题 第n个数等于第n-1的数 加上第n-2的数
function fib(n){
   const dp = [0,1] // dp[i]表示第i个斐波那契数
   for(let i = 2;i < n;i++){
       //存储子问题的解
       d[i] = d[i-1]+d[i-2]
   }
   //推出大问题的解
   return d[n]
   }
}

我们通过dp数组来存储解( 其实这里用两个变量来就能解决问题，空间复杂度为O(1) )，将求第n个数的斐波那契数转化为dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]。

动态规划的思路过程

什么样的问题适合使用动态规划，或者我们如何判断这道题要用到动态规划？

当我们把问题的解罗列出来后发现有重叠的子问题，那么就可以考虑动态规划

动态规划其实是有一种套路的思路：

判断：是否有重叠子问题 + 最优子结构？（先想暴力解，看是否有重复计算）
定义：DP 数组的下标和值分别代表什么？（紧扣问题阶段和目标）
初始化：最小子问题的解是什么？（边界值如何设定）
递推：当前状态的所有来源是什么？如何从来源推导当前解？（结合目标写公式）
求解：最终目标对应 DP 数组的哪个值？（可选：是否能优化空间？）

动态规划例题分析

Leetcode上有许多关于动态规划的问题,我们通过几道例题来理解一下：

零钱兑换

给你一个整数数组 coins ，表示不同面额的硬币；以及一个整数 amount ，表示总金额。计算并返回可以凑成总金额所需的 最少的硬币个数 。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1 。每种硬币的数量是无限的。

var coinChange = function(coins=[1,2,5],amount=11){
    //用定义好的硬币面额 拼凑出最少的硬币数
    //我们定义dp数组为i金额所需要最少硬币数
    const dp = new Array(amount+1).fill(amount+1)
    dp[0] = 0
    //对于dp[i] = dp[i-C] + 1 C为钱币的面额
    for(let i = 1;i <= amount;i++){
        //尝试每种硬币 
        for(let j = 0; j <= coins.length;j++){
            if(coins[j] <= i){
                dp[i] = Math.min(dp[i-coins[j]]+1,dp[i])
            }
        }
    }
    
    return dp[amount]>amount?-1:dp[amount]
}

0-1背包问题

给你一个可以装载重量为W的背包和N个物品每个物品都有重量和价值俩个属性其中第i个物品的重量为wt[i],价值为val[i], 现在让你用这个背包装物品，每个物品只能用一次，请问最多能装载的价值是多少？

var bag = (W=4,wt=[2, 1, 3],val=[4, 2, 3])=>{
    //定义N为物品数量
    const N = wt.length
    //考虑到题目中有重量表和价值表
    //我们定义dp为：对于前i个物品 背包容量为j时最多的价值 dp[N][W]就是问题的解
    const dp = new Array(N+1).fill(),map(()=>new Array(W+1).fill(0))
    // i代表物品数量 j代表价值
    for(let i = 1;i <= N;i++){
        for(let j = 1;j <= W;j++){
            //我们要考虑一下放不放背包
            //如果背包容量
            if(j-wt[i-1] < 0){
                dp[i][j] = dp[i-1][j]
            }else{
                dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j-wt[i-1]]+val[i-1],dp[i-1][j])
            }
        }
    }
    return dp[N][W]
}

结语

动态规划问题帮我完善了解决问题的思维方式，让我学会了如何将复杂问题分解为简单的子问题，并通过存储中间结果来优化计算。虽然初学时会觉得有些抽象，但一旦掌握了核心思想，就会发现它是一种非常强大且优雅的算法设计技术。

希望这篇分享对正在学习动态规划的你有帮助！继续刷题，一起进步！