谐振腔
初始光线坐标为 (r1,θ1)，位于 M1镜片处，向右传播到 M2处，坐标为：
r₂ = r₁ + r₁θ₁
θ₂ = θ₁
写成矩阵的形式，在自由空间中传播距离 L的传输矩阵为：
M_prop = [ 1 L ]
[ 0 1 ]
在 M2镜片上反射，坐标变换为：
r₂ = r₁
θ₂ = θ₁ - (2/R)r₁
角度变换公式可以由简单几何关系得出。但这一关系也蕴含在反射球面镜的物像关系中。无限远处的物成像在 R/2处。它对应的角偏转为 2r1/R。因此在曲率半径为 R的球面镜上反射的矩阵为：
M_mirror(R) = [ 1 0 ]
[ -2/R 1 ]
选择镜面 M1的表面作为起始参考面。一个完整的往返（Round-Trip）过程包含四个步骤，其总传输矩阵为：
M_rt = M_R₁ · M_L · M_R₂ · M_L
其中：
M_R₁ = [ 1 0 ]
[ -2/R₁ 1 ]
M_R₂ = [ 1 0 ]
[ -2/R₂ 1 ]
M_L = [ 1 L ]
[ 0 1 ]
最终得到往返一次的变换 ABCD 矩阵：
M_rt = [ A B ]
[ C D ]
其中：
A = 1 - 2L/R₂
B = 2L(1 - L/R₂)
C = -2/R₁(1 - 2L/R₂) - 2/R₂
D = -4L/R₁(1 - L/R₂) + 1 - 2L/R₂
谐振腔的稳定性要求光线在腔内多次往返后不致横向逸出。对于傍轴光线，这要求往返矩阵的本征值小于 1。计算本征值：
det( [A-λ B] ) = 0
[C D-λ]
即：
(A-λ)(D-λ) - BC = 0
λ² - (A+D)λ + (AD-BC) = 0
但 AD−BC=1，所以：
λ² - (A+D)λ + 1 = 0
|(A+D)/2| < 1
将 g参数 g1=1−L/R1，g2=1−L/R2代入，可证明：
(A+D)/2 = 2g₁g₂ - 1
因此，稳定性条件等价于：
|2g₁g₂ - 1| < 1
展开绝对值不等式，得到著名的球面谐振腔稳定性判据：
0 < g₁g₂ < 1
在平凹腔中，平面的曲率半径为无穷大，g=0。因此稳定性条件只要求腔长小于另一个面的曲率半径。
