关于三角恒等式的证明

余弦加法公式 

cos⁡(A+B)=cos⁡Acos⁡B−sin⁡Asin⁡Bcos(A+B)=cosAcosB−sinAsinB 有多种证明方法。以下是几种常见的证明方式：

方法一：使用欧拉公式（最简洁）

欧拉公式：eiθ=cos⁡θ+isin⁡θeiθ=cosθ+isinθ

1. 考虑 ei(A+B)=eiA⋅eiBei(A+B)=eiA⋅eiB

2. 左边：ei(A+B)=cos⁡(A+B)+isin⁡(A+B)ei(A+B)=cos(A+B)+isin(A+B)

3. 右边：eiA⋅eiB=(cos⁡A+isin⁡A)(cos⁡B+isin⁡B)eiA⋅eiB=(cosA+isinA)(cosB+isinB)

   =cos⁡Acos⁡B+icos⁡Asin⁡B+isin⁡Acos⁡B+i2sin⁡Asin⁡B=cosAcosB+icosAsinB+isinAcosB+i2sinAsinB=(cos⁡Acos⁡B−sin⁡Asin⁡B)+i(cos⁡Asin⁡B+sin⁡Acos⁡B)=(cosAcosB−sinAsinB)+i(cosAsinB+sinAcosB)

4. 比较实部得：

   cos⁡(A+B)=cos⁡Acos⁡B−sin⁡Asin⁡Bcos(A+B)=cosAcosB−sinAsinB

同时，比较虚部可得正弦加法公式：sin⁡(A+B)=sin⁡Acos⁡B+cos⁡Asin⁡Bsin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

方法二：几何证明（使用单位圆）

1. 在单位圆上，设点 PP 对应角度 AA，点 QQ 对应角度 A+BA+B
2. 点 PP 的坐标：(cos⁡A,sin⁡A)(cosA,sinA)
3. 点 QQ 的坐标：(cos⁡(A+B),sin⁡(A+B))(cos(A+B),sin(A+B))
4. 通过旋转坐标系或利用距离公式，可以推导出上述关系

方法三：使用向量点积

考虑两个单位向量：

• u⃗=(cos⁡A,sin⁡A)u=(cosA,sinA)
• v⃗=(cos⁡B,sin⁡B)v=(cosB,sinB)

它们的点积：

u⃗⋅v⃗=cos⁡Acos⁡B+sin⁡Asin⁡B=cos⁡(θ)u⋅v=cosAcosB+sinAsinB=cos(θ)

其中 θθ 是两向量夹角，即 θ=A−Bθ=A−B

因此：cos⁡(A−B)=cos⁡Acos⁡B+sin⁡Asin⁡Bcos(A−B)=cosAcosB+sinAsinB

再令 B=−CB=−C，利用 cos⁡(−C)=cos⁡Ccos(−C)=cosC，sin⁡(−C)=−sin⁡Csin(−C)=−sinC，可得：

cos⁡(A+C)=cos⁡Acos⁡C−sin⁡Asin⁡Ccos(A+C)=cosAcosC−sinAsinC

方法四：使用复数平面

在复平面上，复数相乘相当于模长相乘、辐角相加：

• 复数 z1=cos⁡A+isin⁡Az1​=cosA+isinA 的辐角为 AA
• 复数 z2=cos⁡B+isin⁡Bz2​=cosB+isinB 的辐角为 BB
• z1⋅z2z1​⋅z2​ 的辐角为 A+BA+B

通过计算 z1⋅z2z1​⋅z2​ 的实部即可得到余弦加法公式。

总结

欧拉公式的证明最为简洁和优雅，它统一了指数函数和三角函数，是现代数学中常用的方法。几何证明虽然直观但步骤较多，向量证明则利用了向量的几何性质。

这个公式是三角函数的基础，由此可以推导出许多其他三角恒等式，包括您最初问的双角公式。