微积分：分微分，积分
- 微分：研究函数在某一点的变化率，比如瞬时速度、曲线斜率，核心工具是导数。
- 积分：研究函数在某一区间的累积效应，比如面积、体积、位移总量，核心工具是定积分和不定积分。
关键思想
- 极限思想：通过 “无限逼近” 解决有限与无限的矛盾，是微积分的基础。
- 化整为零：微分将复杂运动或曲线拆成无数微小片段，积分再将这些片段合并求和。
- 牛顿 - 莱布尼茨公式：建立了微分和积分的联系，让积分计算更便捷。
微积分核心公式可分为导数公式、积分公式和常用运算法则三类，核心结论是：掌握基础公式 + 运算法则，可解决大部分微积分计算问题。
一、核心导数公式（基本初等函数）
- 常数导数：(C)’ = 0（C 为常数）
- 幂函数：(xⁿ)’ = n xⁿ⁻¹（n 为实数）
- 指数函数：(eˣ)’ = eˣ；(aˣ)’ = aˣ ln a（a>0 且 a≠1）
- 对数函数：(ln x)’ = 1/x；(logₐx)’ = 1/(x ln a)（a>0 且 a≠1）
- 三角函数：(sin x)’ = cos x；(cos x)’ = -sin x；(tan x)’ = sec²x
- 反三角函数：(arcsin x)’ = 1/√(1-x²)；(arctan x)’ = 1/(1+x²)
二、核心积分公式（不定积分，C 为积分常数）
- 常数积分：∫C dx = Cx + C
- 幂函数积分：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C（n≠-1）；∫1/x dx = ln|x| + C
- 指数函数积分：∫eˣ dx = eˣ + C；∫aˣ dx = aˣ/ln a + C（a>0 且 a≠1）
- 三角函数积分：∫sin x dx = -cos x + C；∫cos x dx = sin x + C；∫sec²x dx = tan x + C
- 反三角函数相关积分：∫1/√(1-x²) dx = arcsin x + C；∫1/(1+x²) dx = arctan x + C
三、常用运算法则
1. 导数运算法则
- 和差法则：(u±v)’ = u’±v’
- 乘积法则：(uv)’ = u’v + uv’
- 商法则：(u/v)’ = (u’v - uv’)/v²（v≠0）
- 复合函数链式法则：(f (g (x)))’ = f’(g (x))・g’(x)
2. 积分运算法则
- 和差法则：∫(u±v) dx = ∫u dx ± ∫v dx
- 常数因子法则：∫k u dx = k∫u dx（k 为常数）
- 分部积分法：∫u dv = uv - ∫v du
- 换元积分法：∫f (g (x)) g’(x) dx = ∫f (u) du（令 u=g (x)）
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