概率核心公式围绕 “事件发生可能性计算” 展开，核心结论：基础公式是概率计算的核心，加法、乘法公式解决复合事件，条件概率、全概率与贝叶斯公式处理关联事件。
一、基础概率公式
- 古典概型：P (A) = 事件 A 包含的基本事件数 / 所有基本事件总数（适用于等可能、有限个基本事件）。
- 几何概型：P (A) = 事件 A 对应的区域长度（面积 / 体积） / 总区域长度（面积 / 体积）（适用于无限等可能场景）。
- 对立事件概率：P (Ā) = 1 - P (A)（Ā是 A 的对立事件，二者互斥且必有一个发生）。
二、复合事件概率公式
- 加法公式（互斥事件）：P (A∪B) = P (A) + P (B)（A、B 不能同时发生）。
- 加法公式（任意事件）：P (A∪B) = P (A) + P (B) - P (A∩B)（A∩B 是 A、B 同时发生的事件）。
- 乘法公式（独立事件）：P (A∩B) = P (A)×P (B)（A 的发生不影响 B 的概率）。
- 乘法公式（任意事件）：P (A∩B) = P (A)×P (B|A) = P (B)×P (A|B)（P (B|A) 是 A 发生后 B 的条件概率）。
三、条件概率与进阶公式
- 条件概率：P (B|A) = P (A∩B) / P (A)（P (A) > 0，已知 A 发生时 B 的概率）。
- 全概率公式：P (B) = ΣP (Ai)×P (B|Ai)（Ai 是样本空间的划分，即 Ai 互斥且覆盖所有情况）。
- 贝叶斯公式：P (Aj|B) = [P (Aj)×P (B|Aj)] / ΣP (Ai)×P (B|Ai)（由结果 B 反推原因 Aj 的概率）。
- 这个问题很实用，贝叶斯公式核心是 “由结果反推原因的概率”，核心公式为：P (A|B) = [P (B|A)×P (A)] / P (B)。
核心例题（经典疾病筛查问题）
已知某疾病的发病率为 0.1%（P (A)=0.001，A 表示 “患病”），检测试剂盒的准确率如下：
- 患病者检测呈阳性的概率（真阳性）P (B|A)=0.99；
- 未患病者检测呈阳性的概率（假阳性）P (B|¬A)=0.01（¬A 表示 “未患病”）。若某人检测结果为阳性（B），求其实际患病的概率 P (A|B)。
解题步骤
- 计算先验概率：P (¬A)=1-P (A)=0.999；
- 用全概率公式求 P (B)：P (B)=P (B|A) P (A)+P (B|¬A) P (¬A)=0.99×0.001 + 0.01×0.999=0.01098；
- 代入贝叶斯公式：P (A|B)=(0.99×0.001)/0.01098≈0.0899，即约 9%。
拓展例题（产品质检问题）
工厂有甲、乙、丙三条生产线，分别生产 50%、30%、20% 的产品（P (甲)=0.5，P (乙)=0.3，P (丙)=0.2）。
- 甲线次品率 P (次 | 甲)=0.02，乙线 P (次 | 乙)=0.03，丙线 P (次 | 丙)=0.05；若随机抽取一件产品为次品（B），求它来自甲线的概率 P (甲 | 次)。
解题步骤
- 全概率求 P (次)：P (次)=0.5×0.02 + 0.3×0.03 + 0.2×0.05=0.029；
- 代入贝叶斯公式：P (甲 | 次)=(0.5×0.02)/0.029≈0.3448，即约 34.5%。
