位运算与二进制补码完全指南

位运算与二进制补码完全指南

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📚 目录

1. 位运算基础
2. 位运算技巧详解
3. 二进制补码深度理解
4. 有符号数与无符号数
5. 编程语言差异
6. 核心知识点总结

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1. 位运算基础

1.1 六大基本运算符

运算符	名称	规则	示例	用途
&	按位与	都为1才为1	5 & 3 = 1	判断奇偶、取某位
|	按位或	有1就为1	5 | 3 = 7	设置某位为1
^	按位异或	不同为1	5 ^ 3 = 6	交换变量、找唯一数
~	按位取反	0变1，1变0	~5 = -6	计算补码
<<	左移	左移n位	5 << 1 = 10	乘以2^n
>>	右移	右移n位	5 >> 1 = 2	除以2^n

1.2 异或的重要性质

a ^ a = 0        （自己异或自己等于0）
a ^ 0 = a        （任何数异或0等于本身）
a ^ b = b ^ a    （满足交换律）
(a ^ b) ^ c = a ^ (b ^ c)  （满足结合律）

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2. 位运算技巧详解

2.1 交换两个数（无需中间变量）

# 原理：利用异或的性质
a ^= b  # a = a ^ b
b ^= a  # b = b ^ (a ^ b) = a
a ^= b  # a = (a ^ b) ^ a = b

# 详细推导示例（a=5, b=3）：
# 初始：a=5(101), b=3(011)
# a ^= b: a=6(110), b=3(011)
# b ^= a: a=6(110), b=5(101)  ← b得到原来的a
# a ^= b: a=3(011), b=5(101)  ← a得到原来的b

2.2 常用技巧

n & (n-1) - 消除最右边的1

应用：计算二进制中1的个数
示例：6 & 5 = 4
      110 & 101 = 100

n & (-n) - 保留最右边的1

应用：树状数组（Fenwick Tree）
示例：6 & (-6) = 2
      0110 & 1010 = 0010

判断2的幂

def is_power_of_two(n):
    return n > 0 and (n & (n - 1)) == 0

计算平均值（避免溢出）

# 普通方法可能溢出
avg = (a + b) / 2

# 位运算方法（不会溢出）
avg = (a & b) + ((a ^ b) >> 1)

# 原理：
# a + b = 2×(a & b) + (a ^ b)
# 所以 (a + b) / 2 = (a & b) + (a ^ b) / 2

为什么不溢出？

• a & b：提取两数都为1的位（共同部分）
• a ^ b：提取两数不同的位（差异部分）
• 先将差异部分除以2，再加上共同部分，避免先相加导致溢出

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3. 二进制补码深度理解

3.1 为什么需要补码？

问题：如果用原码（最高位表示符号），计算会出错

6 + (-6) 用原码计算：
  0000 0110  (6)
+ 1000 0110  (-6的原码)
-----------
  1000 1100  ❌ 不等于0！

解决方案：补码让减法变成加法

3.2 补码的计算方法

方法一：万能公式

负数的补码 = 2^n - |负数|

示例（8位）：
-6 的补码 = 256 - 6 = 250 = 1111 1010

方法二：取反加1（快捷方法）⭐

步骤：
1. 写出正数的二进制：6 = 0000 0110
2. 按位取反：        1111 1001
3. 加1：             1111 1010  ← 这就是-6

3.3 补码验证

6 + (-6) = 0（用补码）：
  0000 0110  (6)
+ 1111 1010  (-6的补码)
-----------
1 0000 0000  
↑ 溢出丢弃
= 0000 0000 = 0 ✅

3.4 反推：如何快速计算负数的值

看到补码 → 求原来的负数值

方法：取反加1（或减1取反）

示例：1111 1010 表示多少？
1. 取反：0000 0101 = 5
2. 加1：  0000 0110 = 6
3. 答案：-6

或者：
1. 减1：  1111 1001
2. 取反：0000 0110 = 6
3. 答案：-6

3.5 特殊情况：1000 0000 = -128

为什么特殊？

8位有符号数范围：-128 到 127

按"取反加1"规则：
-127 = ~127 + 1 = 1000 0001 ✅
-128 = ~128 + 1 = ？
       ❌ 128需要9位，8位装不下！

解决方案：
直接规定 1000 0000 = -128
（这个位置放着也是浪费，充分利用8位）

验证合理性：
127 + (-128) = -1
  0111 1111
+ 1000 0000
-----------
  1111 1111 = -1 ✅

理解要点：

• 1000 0000 无法通过"取反加1"从正数得到
• 但它确实表示 -128
• 这是补码系统中唯一的"特殊绑定"

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4. 有符号数与无符号数

4.1 最高位不一定表示符号！

取决于类型：

8位二进制 1000 0001 的值：

作为无符号数（unsigned）：
= 128 + 1 = 129

作为有符号数（signed）：
= -127（补码）

4.2 不同位数的取值范围

n位有符号数

范围：-2^(n-1) 到 2^(n-1) - 1

4位：-8 到 7
8位：-128 到 127
16位：-32768 到 32767
32位：-2147483648 到 2147483647

n位无符号数

范围：0 到 2^n - 1

4位：0 到 15
8位：0 到 255
16位：0 到 65535
32位：0 到 4294967295

4.3 快速判断正负

有符号数：
最高位 = 0 → 正数或0
最高位 = 1 → 负数

示例（8位有符号）：
0000 0000 到 0111 1111 → 0 到 127
1000 0000 到 1111 1111 → -128 到 -1

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5. 编程语言差异

5.1 各语言对比

语言	有符号	无符号	溢出处理	设计哲学
C/C++	✅	✅	无警告，未定义行为	信任程序员，接近硬件
Rust	✅	✅	Debug panic, Release可配置	安全第一，性能第二
Java	✅	❌	截断（wrap around）	简单安全，避免混淆
Python	✅	❌	自动扩展（无限大）	对用户友好

5.2 详细说明

C/C++：完全控制

int a = -100;           // 有符号
unsigned int b = 100;   // 无符号

// 优点：性能好，灵活
// 缺点：容易出错，溢出无警告

Rust：安全的系统语言

let a: i32 = -100;  // 有符号
let b: u32 = 100;   // 无符号

// 明确溢出行为：
b.wrapping_add(1);    // 明确要溢出
b.checked_add(1);     // 检查溢出，返回Option
b.saturating_add(1);  // 饱和运算，到最大值停止

Java：简化设计

byte a = -128;   // 只有有符号
// 没有 unsigned 关键字

// 原因：
// 1. 简化语言（避免有符号/无符号混用的错误）
// 2. 大部分业务不需要无符号
// 3. 需要时用更大的类型或特殊方法

Python：无限大整数

a = 99999999999999999999999999999999  # 完全OK

# 原理：小整数直接存储，大整数用数组存储多个"块"
# 优点：不用担心溢出
# 缺点：性能损失

5.3 Java的截断机制

// 编译时检查 → 报错
byte b = 130;  // ❌ 编译错误

// 运行时或强制转换 → 截断
int x = 130;
byte b = (byte) x;  // b = -126（截断）

// 截断原理：
130 = 0000 0000 1000 0010（int）
      ↓ 只保留低8位
      1000 0010（byte）= -126

// 公式：
// value > 127: result = value - 256
// value < -128: result = value + 256

// 130 - 256 = -126

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6. 核心知识点总结

6.1 必须记住的公式

1. 负数补码 = 取反加1
2. 看到补码求负数 = 取反加1（相同操作）
3. n & (n-1) = 消除最右边的1
4. n & 1 = 判断奇偶（0为偶，1为奇）
5. 1 << n = 2^n
6. x << n = x * 2^n
7. x >> n = x / 2^n（向下取整）

6.2 重要概念

✅ 补码不是"符号+绝对值"，而是特殊的编码方式
✅ 1000 0000 = -128 是特殊绑定，不能用取反加1从正数得到
✅ 最高位是否表示符号取决于有符号/无符号类型
✅ 不同语言对溢出的处理完全不同
✅ 位运算速度快，但要注意可读性

6.3 常见误区

❌ 以为负数就是"符号位+绝对值"（那是原码，不是补码）
❌ 以为最高位是1就一定是负数（要看类型）
❌ 以为所有语言都有无符号数（Java没有）
❌ 以为溢出都会报错（大部分语言不报错）

6.4 实用技巧速查

# 1. 判断奇偶
def is_even(n):
    return (n & 1) == 0

# 2. 交换两数
a ^= b; b ^= a; a ^= b

# 3. 计算1的个数
def count_ones(n):
    count = 0
    while n:
        n &= (n - 1)
        count += 1
    return count

# 4. 找唯一不重复的数
def single_number(nums):
    result = 0
    for num in nums:
        result ^= num
    return result

# 5. 判断2的幂
def is_power_of_two(n):
    return n > 0 and (n & (n - 1)) == 0

# 6. 获取第n位
def get_bit(num, n):
    return (num >> n) & 1

# 7. 设置第n位为1
def set_bit(num, n):
    return num | (1 << n)

# 8. 清除第n位
def clear_bit(num, n):
    return num & ~(1 << n)

# 9. 计算平均值（避免溢出）
def avg(a, b):
    return (a & b) + ((a ^ b) >> 1)

6.5 8位有符号数对照表（常用值）

二进制      十进制
0000 0000   0
0000 0001   1
0111 1111   127  ← 最大正数
1000 0000   -128 ← 最小负数（特殊）
1000 0001   -127
1111 1110   -2
1111 1111   -1   ← 全1

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📝 复盘建议

1. 重点理解：补码的"取反加1"规则和为什么需要补码
2. 多练习：手算几个补码转换，加深记忆
3. 实践应用：
   • LeetCode 位运算题目
   • 实现上面的实用技巧
4. 注意陷阱：
   • 不同语言的溢出行为
   • 有符号/无符号混用
5. 下次学习：
   • 位掩码（Bitmask）在状态压缩DP中的应用
   • 更高级的位运算技巧

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🎯 测试题（检验理解）

练习题

1. 1111 1100（8位有符号）表示多少？
2. -1 的二进制为什么是全1？
3. 为什么 -128 + (-128) 会溢出？
4. Java 中 byte b = (byte)200; b的值是多少？
5. 如何用位运算判断一个数是否是4的幂？

答案

1. -4
   取反：0000 0011 = 3
   加1：4, 所以是 -4

2. -1 = ~1 + 1 = ~(0000 0001) + 1
      = 1111 1110 + 1 = 1111 1111

3. -128 + (-128) = -256
   超出8位有符号范围（-128到127）

4. b = -56
   200 = 1100 1000（低8位）
   补码 = -56（或 200 - 256 = -56）

5. n > 0 && (n & (n-1)) == 0 && (n & 0xAAAAAAAA) == 0
   或：n > 0 && (n & (n-1)) == 0 && __builtin_ctz(n) % 2 == 0

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附录：关键问题深度解析

Q1: 为什么交换两数用异或可以不需要临时变量？

核心原理：
1. a ^ a = 0（自己异或自己等于0）
2. a ^ 0 = a（任何数异或0等于自己）
3. 满足交换律和结合律

推导过程：
a ^= b     → a' = a ⊕ b
b ^= a'    → b' = b ⊕ (a ⊕ b) = a ⊕ b ⊕ b = a ⊕ 0 = a
a' ^= b'   → a'' = (a ⊕ b) ⊕ a = a ⊕ a ⊕ b = 0 ⊕ b = b

完成交换！

Q2: 为什么负数用补码而不是原码？

原因1：统一加减法运算
- 用补码后，CPU只需要加法器，不需要单独的减法器
- a - b = a + (-b)，直接加上b的补码即可

原因2：避免两个零
- 原码有 +0 (0000 0000) 和 -0 (1000 0000)
- 补码只有一个 0 (0000 0000)

原因3：硬件实现简单
- 取反加1的电路非常简单
- 所有运算都是加法，硬件设计统一

Q3: 为什么 1000 0000 绑定给 -128？

设计考虑：
1. 8位共256个组合，要充分利用
2. 正数0-127（128个）+ 负数-128到-1（128个）= 256个，刚好！
3. -128没有对应的正数128（超出8位范围）
4. 1000 0000这个位置不能浪费，直接定义为-128
5. 数学验证：所有运算都正确（除了-128 + -128会溢出）

这是一个工程上的最优选择！

Q4: 平均值算法为什么不溢出？

传统方法：(a + b) / 2
问题：a + b 可能超过类型最大值

位运算方法：(a & b) + ((a ^ b) >> 1)

数学证明：
a + b = (a & b) + (a & b) + (a ^ b)
      = 2×(a & b) + (a ^ b)

所以：
(a + b) / 2 = (a & b) + (a ^ b) / 2
            = (a & b) + ((a ^ b) >> 1)

为什么不溢出？
- (a & b) ≤ min(a, b)
- (a ^ b) ≤ max(a, b)
- (a ^ b) >> 1 更小
- 两个较小数相加不会超过原范围

Q5: Java 为什么只有有符号数？

设计者的考虑（James Gosling团队）：

1. 简化语言
   - 减少关键字和概念
   - 降低学习曲线

2. 避免常见错误
   - C语言中有符号/无符号混用常导致bug
   - 类型转换规则复杂，难以理解

3. 跨平台一致性
   - 所有平台行为完全一致
   - 不依赖硬件特性

4. 够用
   - 大部分业务场景不需要无符号
   - 需要时用 long 或特殊API（如 Integer.toUnsignedLong）

哲学：宁可限制灵活性，也要保证安全和简单

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学习完成时间: 2025-11-10 22:57
建议复习时间: 3天后、1周后、1个月后

祝学习进步！🚀