第1章：绪论

ZhaoChen
47 阅读6分钟

1、数据结构的基本概念

1.1、基本概念和术语

数据

数据是信息的载体，是描述客观事物属性的数、字符及所有能输入到计算机中并被计算机程序识别和处理的符合的集合

数据是计算机程序加工的原料

数据元素

数据元素数数据的基本单位，通常作为一个整体进行考虑和处理

一个数据元素可由若干数据项组成，数据项是构成数据元素的不可分割的最小单位

数据对象

数据对象是具有相同性质的数据元素的集合，是数据的一个子集

数据类型

数据类型是一个值的集合和定义在此集合上的一组操作的总称

  1. 原子类型：其值不可再分的数据类型
  2. 结构类型：其值可以再分解为若干成分（分量）的数据类型
  3. 抽象数据类型(ADT)：一个数学模型及定义在该数学模型上的一组操作。通常是对数据的某种抽象，定义了数据的取值范围及其结构形式，以及对数据操作的集合

数据结构

数据结构是相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。包括逻辑结构、存储结构和数据的运算

一个算法的设计取决于所选定的逻辑结构，算法的实现依赖于所采用的存储结构

1.2、数据结构三要素

数据的逻辑结构

指数据元素之间的逻辑关系，即从逻辑关系上描述数据。它与数据的存储无关，是独立于计算机的

  1. 集合：结构中的数据元素之间除“同属一个集合”外，没有其他关系
  2. 线性结构：结构中的数据元素之间只存在一对一的关系
  3. 树型结构：结构中的数据元素之间存在一对多的关系
  4. 图形结构：结构中的数据元素之间存在多对多的关系

数据的存储结构

指数据结构在计算机中的表示，也称物理结构，包括数据元素的表示和关系的表示

  1. 顺序存储：把逻辑上相邻的元素存储在物理位置上也相邻的存储单元中，元素之间的关系由存储单元的邻接关系来体现。优点是可以实现随机存取，每个元素占用最少的存储空间；缺点是只能使用相邻的一整块存储单元，因此可能产生较多的外部碎片
  2. 链式存储：不要求逻辑上相邻的元素在物理上也相邻，借助指示元素存储地址的指针来表示元素之间的逻辑关系。优点是不会出现碎片现象，能充分利用所有存储单元；缺点是每个元素因存储指针而占用额外的存储空间，且只能实现顺序存取
  3. 索引存储：在存储元素信息的同时，还建立附加的索引表。索引表中的每项称为索引项，索引项一般形式是（关键字，地址）。优点是检索速度快；缺点是附加的索引表额外占用存储空间。另外增加和删除也要修改索引项，因为会花费较多的时间
  4. 散列存储：根据元素的关键字直接计算出该元素的存储地址，也称哈希（hash）存储。优点是检索、增加和删除结点的操作都很快；缺点是若散列函数不好，可能出现元素存储单元冲突，而解决冲突会增加时间和空间消耗

数据的运算

施加在数据上的运算包括运算的定义和运算的实现

运算的定义：是针对逻辑结构的，指出运算的功能

运算的实现：是针对存储结构的，指出运算的具体操作步骤

2、算法和算法评价

2.1、算法的基本概念

算法

是对特定问题求解步骤的一种描述，它是指令的有限序列，其中的每条指令表示一个或多个操作

算法五大特性

  1. 有穷性：一个算法必须总在执行有穷步之后结束，且每一步都可在有穷时间内完成
  2. 确定性：算法中每条指令必须有确切的含义，对于相同的输入只能得出相同的输出
  3. 可行性：算法中描述的操作都可以通过已经实现的基本运算执行有限次来完成
  4. 输入：一个算法有零个或多个输入
  5. 输出：一个算法有一个或多个输出

好算法的目标

  1. 正确性：算法应能够正确地解决求解的问题
  2. 可读性：算法应具有良好的可读性，以帮助人们理解
  3. 健壮性：算法能对输入的非法数据做出反应或处理，而不会产生莫名其妙的输出
  4. 高效率与低存储量需求：算法的执行时间尽可能短，且在执行过程中所需要的存储空间尽可能少

2.2、算法效率的度量

算法效率的度量是通过时间复杂度和空间复杂度来描述的

时间复杂度

算法中基本运算的执行次数的数量级作为该算法的时间复杂度

最坏时间复杂度：指最坏情况下，算法的时间复杂度（重点关注）
平均时间复杂度：指所有可能输入实例在等概率出现的情况下，算法的时间复杂度
最好时间复杂度：指最好情况下，算法的时间复杂度

加法规则：T(n)=T1(n)+T2(n)=O(f(n))+O(g(n))=O(max(f(n),g(n)))T(n)=T_1(n)+T_2(n)=O(f(n))+O(g(n))=O(max(f(n),g(n)))
乘法规则：T(n)=T1(n)×T2(n)=O(f(n))×O(g(n))=O(f(n)×g(n))T(n)=T_1(n)×T_2(n)=O(f(n))×O(g(n))=O(f(n)×g(n))

常见时间复杂度：O(1)<O(log⁡2n)<O(n)<O(nlog⁡2n)<O(n2)<O(n3)<O(2n)<O(n!)<O(nn)O(1)<O(\log_2n)<O(n)<O(n\log_2n)<O(n^2)<O(n^3)<O(2^n)<O(n!)<O(n^n)

空间复杂度

算法的空间复杂度S(n)S(n)定义为该算法所需的存储空间，它是问题规模nn的函数S(n)=O(g(n))S(n)=O(g(n))

一个程序在执行时除了需要存储空间来存放本身所用的指令、常数、变量和输入的数据外，还需要一些对数据进行操作的工作单元和一些为实现计算所需所需信息的存储空间。若输入数据所占空间只取决于问题本身，和算法无关，则只需分析除输入和程序之外的额外空间

算法原地工作指算法所需的辅助空间为常量，即O(1)O(1)

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