洛谷P1314 [NOIP 2011 提高组] 聪明的质监员（二分+前缀和）原题：[https://www.luogu.

原题：[www.luogu.com.cn/problem/P13…] ~~这是一道浪漫的题目~~

题面：

P1314 [NOIP 2011 提高组] 聪明的质监员

题目描述

小 T 是一名质量监督员，最近负责检验一批矿产的质量。这批矿产共有 $n$ 个矿石，从 $1$ 到 $n$ 逐一编号，每个矿石都有自己的重量 $w_i$ 以及价值 $v_i$ 。检验矿产的流程是：

给定 $m$ 个区间 $[l_i,r_i]$ ；
选出一个参数 $W$ ；
对于一个区间 $[l_i,r_i]$ ，计算矿石在这个区间上的检验值 $y_i$ ：

$y_i=\sum\limits_{j=l_i}^{r_i}[w_j \ge W] \times \sum\limits_{j=l_i}^{r_i}[w_j \ge W]v_j$

其中 $j$ 为矿石编号， $[p]$ 是指示函数，若条件 $p$ 为真返回 $1$ ，否则返回 $0$ 。

这批矿产的检验结果 $y$ 为各个区间的检验值之和。即： $\sum\limits_{i=1}^m y_i$ 。

若这批矿产的检验结果与所给标准值 $s$ 相差太多，就需要再去检验另一批矿产。小 T 不想费时间去检验另一批矿产，所以他想通过调整参数 $W$ 的值，让检验结果尽可能的靠近标准值 $s$ ，即使得 $|s-y|$ 最小。请你帮忙求出这个最小值。

输入格式

第一行包含三个整数 $n,m,s$ ，分别表示矿石的个数、区间的个数和标准值。

接下来的 $n$ 行，每行两个整数，中间用空格隔开，第 $i+1$ 行表示 $i$ 号矿石的重量 $w_i$ 和价值 $v_i$ 。

接下来的 $m$ 行，表示区间，每行两个整数，中间用空格隔开，第 $i+n+1$ 行表示区间 $[l_i,r_i]$ 的两个端点 $l_i$ 和 $r_i$ 。注意：不同区间可能重合或相互重叠。

输出格式

一个整数，表示所求的最小值。

输入输出样例 #1

输入 #1

输出 #1

说明/提示

【输入输出样例说明】

当 $W$ 选 $4$ 的时候，三个区间上检验值分别为 $20,5,0$ ，这批矿产的检验结果为 $25$ ，此时与标准值 $S$ 相差最小为 $10$ 。

【数据范围】

对于 $10\%$ 的数据，有 $1 ≤n,m≤10$ ；

对于 $30\%$ 的数据，有 $1 ≤n,m≤500$ ；

对于 $50\%$ 的数据，有 $1 ≤n,m≤5,000$ ；

对于 $70\%$ 的数据，有 $1 ≤n,m≤10,000$ ；

对于 $100\%$ 的数据，有 $1 ≤n,m≤200,000$ ， $0 < w_i,v_i≤10^6$ ， $0 < s≤10^{12}$ ， $1 ≤l_i ≤r_i ≤n$ 。

$Solution$

题目要求我们让 $y$ 的值尽可能靠近 $s$ ，然后分析一波，可以发现如果 $y$ 的值比 $s$ 大，说明此时 $W$ 的值定低了，导致有多余的矿石被选上了；反之，如果 $y$ 的值比 $s$ 小，说明此时 $W$ 的值定高了，导致有些矿石没被选上。那么这个时候我们可以发现， $y$ 的值是随 $W$ 的值一同变化的，当 $W$ 增大，则 $y$ 的值减小，反之当 $W$ 减小，则 $y$ 的值增大。这个函数对应关系满足单调性，所以我们可以考虑二分 $W$ 来求解。

具体我们需要确定二分的上下界，显然我们只要找到所有矿石中的最小重量和最大重量就可以了，因为取更小或更大的上下界所得到的效果都是一样的，这两个值就已经涵盖了所有矿石的范围。

那么新的问题出现了，我们应该如何根据每一次二分给出的 $W$ 的值来计算这么多区间上分别的贡献值，如果直接暴力枚举的话，显然时间复杂度是 $O(nm)$ 最坏，不可行，所以我们考虑进行优化。

分解一下题目给出的式子：

y_i=\sum\limits_{j=l_i}^{r_i}[w_j \ge W] \times \sum\limits_{j=l_i}^{r_i}[w_j \ge W]v_j

对于每个区间，我们需要快速计算出其中满足 $w_i \ge W$ 的 $i$ 的数量，以及这些位置的和 $\sum_{j=l_i}^{r_i}[w_j \ge W]v_j$ 。来回想一下我们有什么办法可以用来快速求区间和，我们可以用线段树、树状数组、前缀和。那么这里由于我们是静态区间，不要求修改所以线段树和树状数组是不必要的，且查询速度为 $O(logn)$ 慢于前缀和的 $O(1)$ ，所以我们考虑使用前缀和来维护区间信息。

对于每一个 $W$ ，我们首先扫一遍 $w$ 数组，定义 $preCnt_i$ 为位置 $1$ 到位置 $i$ 出现的所有满足条件的位置的个数， $preVal_i$ 为位置 $1$ 到位置 $i$ 出现的所有满足条件的位置的价值即 $v_i$ 之和。则有预处理：

preCnt_i=preCnt_{i-1}+[w_i \ge W]

preVal_i=preVal_{i-1}+[w_i \ge W]v_i

综上我们就可以做到快速求出每个区间的对应信息，则 $check$ 函数的时间复杂度为 $O(n+m)$ ，总体时间复杂度为 $O((n+m)logW)$ 。

其实一开始我还直接把全部的出现次数乘上所有区间的价值和来着...没看清公式。

$Coding$

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <iomanip>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <climits>
using namespace std;

#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define debug(x) cout << #x << "=" << x << "\n";

int n, m;
ll s;
const int maxn = 2e5 + 10;
ll w[maxn], v[maxn];
int l[maxn], r[maxn];
ll diff[maxn], cnt[maxn];
ll max_val = 0, min_val = LLONG_MAX;
ll ans = LLONG_MAX;

ll calc(ll W)
{
    static ll pre_cnt[maxn], pre_val[maxn];
    pre_cnt[0] = pre_val[0] = 0;

    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        pre_cnt[i] = pre_cnt[i - 1] + (w[i] >= W);
        pre_val[i] = pre_val[i - 1] + (w[i] >= W ? v[i] : 0);
    }

    ll res = 0;
    for (int i = 1; i <= m; i++)
    {
        ll now_cnt = pre_cnt[r[i]] - pre_cnt[l[i] - 1];
        ll now_val = pre_val[r[i]] - pre_val[l[i] - 1];
        res += now_cnt * now_val;
    }

    return res;
}

void binary(ll left, ll right)
{
    ll mid;

    while (left <= right)
    {
        mid = ((left + right) >> 1);
        ll res = calc(mid);

        ans = min(ans, llabs(res - s));

        if (res > s)
            left = mid + 1;
        else
            right = mid - 1;
    }
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    cin >> n >> m >> s;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        cin >> w[i] >> v[i];
        max_val = max(max_val, w[i]);
        min_val = min(min_val, w[i]);
    }

    for (int i = 1; i <= m; i++)
        cin >> l[i] >> r[i];

    binary(min_val, max_val);

    cout << ans;

    return 0;
}

注意开 $longlong$ ！~~血的教训~~

洛谷P1314 [NOIP 2011 提高组] 聪明的质监员（二分+前缀和）