单变量微积分-2、极限的定义与计算

单变量微积分系列（二）：微积分的基石——极限的定义与计算

1. 极限：微积分的灵魂（引言）

在上一篇文章中，我们探讨了微积分的起源，发现要精确描述一个函数在某一瞬间的变化率，我们遇到了一个代数上的难题：$\frac{0}{0}$ 型不定式。我们意识到，解决这个问题的关键在于找到一种数学工具，能够严谨地描述**“无限接近”**这个概念。

这个工具，就是极限（Limit）。

极限是微积分的灵魂，它将传统的代数和几何从静态的、有限的世界，带入了动态的、无限的世界。没有极限，就没有微积分。

极限的哲学：极限描述的是一个过程的趋势，是趋近而非到达。就像你永远无法真正走到墙边，但你可以无限地靠近它。

2. 极限的直观定义

我们首先从直观上理解极限的含义，然后学习如何用数学符号来表达它。

符号表示

一个函数 $f(x)$ 在 $x$ 趋近于 $a$ 时的极限，记作：

$\lim_{x \to a} f(x) = L$

• 读作：“当 $x$ 趋近于 $a$ 时，$f(x)$ 的极限是 $L$。”
• 含义：当 $x$ 的值无限地靠近 $a$（但 $x \neq a$）时，$f(x)$ 的值无限地靠近一个确定的数值 $L$。

关键点：极限与函数值无关

理解极限的关键在于：极限 $L$ 的值与函数在 $a$ 点的实际值 $f(a)$ 是无关的。

$f(a)$ 可能存在，可能不存在，甚至可能存在但与 $L$ 不相等。极限只关心 $x$ 在 $a$ 附近的表现。

示例 1：可去间断点

考虑函数 $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$。

1. 函数值 $f(1)$：当 $x=1$ 时，分母为 $0$，分子也为 $0$，所以 $f(1)$ 没有定义。
2. 极限 $\lim_{x \to 1} f(x)$：
   • 当 $x \neq 1$ 时，我们可以对函数进行化简： $f(x) = \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = x + 1$
   • 随着 $x$ 越来越接近 $1$，虽然 $x$ 永远不会等于 $1$，但 $f(x)$ 的值会越来越接近 $1 + 1 = 2$。
   • 因此，$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = 2$

如下图所示，函数图像在 $x=1$ 处有一个空心点（可去间断点），但它的极限是存在的，为 $2$。

3. 单侧极限（One-Sided Limits）

在某些情况下，函数从左边趋近 $a$ 和从右边趋近 $a$ 时，其趋势可能不同。这时，我们就需要引入单侧极限。

定义

1. 左极限：当 $x$ 从小于 $a$ 的方向趋近 $a$ 时，$f(x)$ 的极限。 $\lim_{x \to a^-} f(x) = L_1$
2. 右极限：当 $x$ 从大于 $a$ 的方向趋近 $a$ 时，$f(x)$ 的极限。 $\lim_{x \to a^+} f(x) = L_2$

极限存在的充要条件

一个函数 $f(x)$ 在 $x \to a$ 时的极限 $L$ 存在，当且仅当它的左极限和右极限都存在，并且它们相等：

$\lim_{x \to a} f(x) = L \iff \lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = L$

如果 $L_1 \neq L_2$，则我们说 $\lim_{x \to a} f(x)$ 不存在。

示例 2：跳跃间断点

考虑分段函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处的极限： $f(x) = \begin{cases} x+1 & x < 0 \\ x^2 & x \ge 0 \end{cases}$

1. 左极限（$x \to 0^-$，即 $x$ 从负方向趋近 $0$）： $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (x + 1) = 0 + 1 = 1$
2. 右极限（$x \to 0^+$，即 $x$ 从正方向趋近 $0$）： $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} x^2 = 0^2 = 0$

因为左极限 $1$ 不等于右极限 $0$，所以 $\lim_{x \to 0} f(x)$ 不存在。这在几何上表现为函数图像在 $x=0$ 处有一个跳跃（跳跃间断点）。

4. 无穷极限与渐近线

极限不仅可以描述 $x$ 趋近于一个有限值时的趋势，还可以描述 $x$ 或 $f(x)$ 趋向于无穷大时的趋势。

趋向无穷的极限（水平渐近线）

当 $x$ 无限增大（$x \to \infty$）或无限减小（$x \to -\infty$）时，如果 $f(x)$ 趋近于一个有限值 $L$，则我们说 $y=L$ 是函数的水平渐近线。

$\lim_{x \to \infty} f(x) = L \quad \text{或} \quad \lim_{x \to -\infty} f(x) = L$

极限为无穷（垂直渐近线）

当 $x$ 趋近于某个有限值 $a$ 时，如果 $f(x)$ 的值无限增大（$\to \infty$）或无限减小（$\to -\infty$），则我们说 $x=a$ 是函数的垂直渐近线。

$\lim_{x \to a} f(x) = \infty \quad \text{或} \quad \lim_{x \to a} f(x) = -\infty$

示例 3：$f(x) = \frac{1}{x}$ 的渐近线

1. 水平渐近线： $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0 \quad \text{且} \quad \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x} = 0$ 这意味着 $y=0$（$x$ 轴）是水平渐近线。
2. 垂直渐近线： $\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty \quad \text{且} \quad \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty$ 这意味着 $x=0$（$y$ 轴）是垂直渐近线。

5. 极限的计算方法

在实际应用中，我们很少需要使用复杂的 $\epsilon-\delta$ 定义来计算极限（这是大学数学分析的内容）。对于工程师来说，掌握以下几种计算方法至关重要：

方法	适用情况	示例
直接代入法	适用于函数在 $x=a$ 处连续的情况。	$\lim_{x \to 2} (x^2 + 3) = 2^2 + 3 = 7$
化简法	适用于 $\frac{0}{0}$ 型不定式，通过因式分解或有理化消除导致分母为零的项。	$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (x + 1) = 2$
无穷代换法	适用于 $x \to \pm\infty$ 的有理分式，只看分子和分母的最高次项。	$\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 2x}{x^2 - 5} = \lim_{x \to \infty} \frac{3x^2}{x^2} = 3$
运算法则	极限的加、减、乘、除（分母极限不为零）可以分别计算。	$\lim_{x \to a} [f(x) + g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} g(x)$

重点：化简法（解决 $\frac{0}{0}$ 不定式）

化简法是连接极限和导数的关键。正是因为我们可以通过代数化简来消除不定式，才能找到瞬时变化率的精确值。

例题： 计算 $\lim_{h \to 0} \frac{(2 + h)^2 - 4}{h}$

这个极限正是函数 $f(x) = x^2$ 在 $x=2$ 处的瞬时变化率（导数）的定义式。

1. 展开分子： $(2 + h)^2 - 4 = (4 + 4h + h^2) - 4 = 4h + h^2$
2. 化简： $\lim_{h \to 0} \frac{4h + h^2}{h}$
3. 提取公因式 $h$ 并约分（因为 $h \to 0$，所以 $h \neq 0$，可以约分）： $\lim_{h \to 0} \frac{h(4 + h)}{h} = \lim_{h \to 0} (4 + h)$
4. 直接代入： $\lim_{h \to 0} (4 + h) = 4 + 0 = 4$

因此，函数 $f(x) = x^2$ 在 $x=2$ 处的瞬时变化率（导数）为 $4$。

6. 总结与展望

极限是微积分的逻辑起点，它为我们提供了一种精确描述“无限接近”的语言。

• 极限的定义：描述 $x$ 趋近 $a$ 时，$f(x)$ 趋近 $L$ 的趋势。
• 单侧极限：用于判断极限是否存在，左右极限必须相等。
• 无穷极限：用于描述渐近线。
• 计算方法：代入、化简（因式分解/有理化）、无穷代换。

掌握了极限，我们就掌握了微积分的基石。在下一篇文章中，我们将把极限的概念应用到函数上，正式引入连续性和导数的定义，从而真正开始微分学的学习。

下一篇预告： 《单变量微积分系列博客（三）：连续性与导数的定义》