难度：简单
描述：
给定一个 n 个元素有序的（升序）整型数组 nums 和一个目标值 target ，写一个函数搜索 nums 中的 target，如果目标值存在返回下标，否则返回 -1。
示例1:
输入: nums = [-1,0,3,5,9,12], target = 9
输出: 4
解释: 9 出现在 nums 中并且下标为 4
示例2:
输入: nums = [-1,0,3,5,9,12], target = 2
输出: -1
解释: 2 不存在 nums 中因此返回 -1
提示:
- 你可以假设 nums 中的所有元素是不重复的。
- n 将在 [1, 10000]之间。
- nums 的每个元素都将在 [-9999, 9999]之间。
思路
这道题目的前提是数组为有序数组，同时题目还强调数组中无重复元素，因为一旦有重复元素，使用二分查找法返回的元素下标可能不是唯一的，这些都是使用二分法的前提条件，当大家看到题目描述满足如上条件的时候，可要想一想是不是可以用二分法了。
二分查找涉及的很多的边界条件，逻辑比较简单，但就是写不好。例如到底是 while(left < right) 还是 while(left <= right)，到底是right = middle呢，还是要right = middle - 1呢？
大家写二分法经常写乱，主要是因为对区间的定义没有想清楚，区间的定义就是不变量。要在二分查找的过程中，保持不变量，就是在while寻找中每一次边界的处理都要坚持根据区间的定义来操作，这就是循环不变量规则。
写二分法，区间的定义一般为两种，左闭右闭即[left, right]，或者左闭右开即[left, right)。
下面我用这两种区间的定义分别讲解两种不同的二分写法。
二分法第一种写法：左闭右闭
第一种写法，我们定义 target 是在一个在左闭右闭的区间里，也就是[left, right] （这个很重要非常重要） 。
区间的定义这就决定了二分法的代码应该如何写，因为定义target在[left, right]区间，所以有如下两点：
- while (left <= right) 要使用 <= ，因为left == right是有意义的，所以使用 <=
- if (nums[middle] > target) right 要赋值为 middle - 1，因为当前这个nums[middle]一定不是target，那么接下来要查找的左区间结束下标位置就是 middle - 1
例如在数组：1,2,3,4,7,9,10中查找元素2，如图所示：
代码如下：（详细注释）
// 版本一:左闭右闭
int search1(int nums[], int numsSize, int target) {
int left = 0;
int right = numsSize - 1; // 定义target在左闭右闭的区间里，[left, right]
while (left <= right) { // 当left==right，区间[left, right]依然有效，所以用 <=
int middle = left + ((right - left) / 2); // 防止溢出 等同于(left + right)/2
if (nums[middle] > target) {
right = middle - 1; // target 在左区间，所以[left, middle - 1]
} else if (nums[middle] < target) {
left = middle + 1; // target 在右区间，所以[middle + 1, right]
} else { // nums[middle] == target
return middle; // 数组中找到目标值，直接返回下标
}
}
return -1;
}
- 时间复杂度：O(log n)
- 空间复杂度：O(1)
二分法第二种写法：左闭右开
如果说定义 target 是在一个在左闭右开的区间里，也就是[left, right) ，那么二分法的边界处理方式则截然不同。
有如下两点：
- while (left < right)，这里使用 < ,因为left == right在区间[left, right)是没有意义的
- if (nums[middle] > target) right 更新为 middle，因为当前nums[middle]不等于target，去左区间继续寻找，而寻找区间是左闭右开区间，所以right更新为middle，即：下一个查询区间不会去比较nums[middle]
在数组：1,2,3,4,7,9,10中查找元素2，如图所示：（注意和方法一的区别）
代码如下：（详细注释）
// 版本一：左闭右开区间[left, right)
// 时间复杂度：O(log n) 空间复杂度：O(1)
int search2(int nums[], int numsSize, int target) {
int left = 0;
int right = numsSize; // 定义target在左闭右闭的区间里，[left, right]
while (left < right) { // 当left==right，区间[left, right]依然有效，所以用 <=
int middle = left + ((right - left) >> 1); // 防止溢出 等同于(left + right)/2
if (nums[middle] > target) {
right = middle; // target 在左区间，所以[left, middle]
} else if (nums[middle] < target) {
left = middle + 1; // target 在右区间，所以[middle + 1, right]
} else { // nums[middle] == target
return middle; // 数组中找到目标值，直接返回下标
}
}
return -1;
}
- 时间复杂度：O(log n)
- 空间复杂度：O(1)
完整示例
C语言版：
#include <stdio.h>
// 版本一：左闭右闭区间[left, right]
// 时间复杂度：O(log n) 空间复杂度：O(1)
int search1(int nums[], int numsSize, int target) {
int left = 0;
int right = numsSize - 1; // 定义target在左闭右闭的区间里，[left, right]
printf("right=%d\n", right);
while (left <= right) { // 当left==right，区间[left, right]依然有效，所以用 <=
int middle = left + ((right - left) / 2); // 防止溢出 等同于(left + right)/2
if (nums[middle] > target) {
right = middle - 1; // target 在左区间，所以[left, middle - 1]
} else if (nums[middle] < target) {
left = middle + 1; // target 在右区间，所以[middle + 1, right]
} else { // nums[middle] == target
return middle; // 数组中找到目标值，直接返回下标
}
}
return -1;
}
// 版本一：左闭右开区间[left, right)
// 时间复杂度：O(log n) 空间复杂度：O(1)
int search2(int nums[], int numsSize, int target) {
int left = 0;
int right = numsSize; // 定义target在左闭右闭的区间里，[left, right]
while (left < right) { // 当left==right，区间[left, right]依然有效，所以用 <=
int middle = left + ((right - left) >> 1); // 防止溢出 等同于(left + right)/2
if (nums[middle] > target) {
right = middle; // target 在左区间，所以[left, middle]
} else if (nums[middle] < target) {
left = middle + 1; // target 在右区间，所以[middle + 1, right]
} else { // nums[middle] == target
return middle; // 数组中找到目标值，直接返回下标
}
}
return -1;
}
int main() {
int nums[] = {1, 3, 5, 7, 9, 11};
int targetIndex = search1(nums, 6, 5);
printf("targetIndex=%d", targetIndex);
return 0;
}
总结
二分法是非常重要的基础算法，为什么很多同学对于二分法都是一看就会，一写就废？
其实主要就是对区间的定义没有理解清楚，在循环中没有始终坚持根据查找区间的定义来做边界处理。
区间的定义就是不变量，那么在循环中坚持根据查找区间的定义来做边界处理，就是循环不变量规则。
本篇根据两种常见的区间定义，给出了两种二分法的写法，每一个边界为什么这么处理，都根据区间的定义做了详细介绍。
相信看完本篇应该对二分法有更深刻的理解了。
