【线性代数】为什么正交矩阵的转置矩阵与逆矩阵相等？命题如果一个 $n \times n$ 的实矩阵 $A$ 满足nor

命题

如果一个 $n \times n$ 的实矩阵 $A$ 满足norm preserving（即保持向量模长不变），那么 $A$ 是正交矩阵，且 $A^{-1} = A^T$ 。

一个实矩阵 $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ ，对任意向量 $x \in \mathbb{R}^n$ ，有：

| A x | = | x |

其中 $| \cdot |$ 表示欧几里得范数，也就是向量 $x$ 的模长（ $|x| = \sqrt{x^T x}$ ）。

将等式两边平方：

|A x|^2 = |x|^2

利用内积表示范数平方（ $|v|^2 = v^T v$ ）：

(Ax)^T (Ax) = x^T x

展开左边：

x^T A^T A x = x^T x

移项得：

x^T (A^T A - I) x = 0, \ \forall x \in \mathbb{R}^n

然后我们试图证明对称矩阵 $M = A^T A - I$ 为零矩阵。

令 $M = A^T A - I$ ，则 $M$ 是实对称矩阵（因为 $(A^T A)^T = A^T A$ ）。

已知对于所有 $x \in \mathbb{R}^n$ ，有：

x^T M x = 0

我们证明这蕴含 $M = 0$ ：

取 $x$ 为标准基向量 $e_i$ ：
$e_i^T M e_i = M_{i,i} = 0$
所以 $M$ 的所有对角线元素为 $0$ 。
取 $x = e_i + e_j$ （ $i \neq j$ ）：
$(e_i + e_j)^T M (e_i + e_j) = M_{i,i} + M_{j,j} + M_{i,j} + M_{j,i}$
因为 $M$ 对称， $M_{i,j} = M_{j,i}$ ，且 $M_{i,i} = M_{j,j} = 0$ ，所以：
$0 + 0 + 2M_{ij} = 0 \quad \Rightarrow \quad M_{ij} = 0$

因此 $M$ 的所有元素为 $0$ ，即 $M = 0$ 。

由 $M = 0$ 得：

A^T A - I = 0 \quad \Rightarrow \quad A^T A = I

这意味着 $A$ 是正交矩阵，且 $A^{-1} = A^T$ 。

我们证明了：若实方阵 $A$ 保持所有向量的欧几里得范数不变，则 $A$ 必为正交矩阵，其逆等于其转置。