最大公约数GCD：辗转相除法与应用

重生之我在二本学院拿offer当牌打
317 阅读6分钟

前言

最大公约数（GCD）和最小公倍数（LCM）是数论中最基础的概念。很多人只知道短除法求GCD，其实辗转相除法（欧几里得算法只需要几行代码，而且时间复杂度是O(logn)。

我并没有能力让你成为数论专家，我只是想让你理解辗转相除法的原理、掌握GCD与LCM的关系、知道GCD在实际问题中的巧妙应用。

摘要

从"求两数最大公约数"问题出发，剖析辗转相除法的数学原理与递归实现。通过短除法到辗转相除法的优化、GCD与LCM的转换关系、以及约分等实际应用，揭秘如何O(logn)求最大公约数。配合详细推导与代码实现，给出GCD问题的完整解法。

一、什么是最大公约数

周一早上，哈吉米问南北绿豆："最大公约数是啥？"

南北绿豆："最大公约数（Greatest Common Divisor，GCD）就是能同时整除两个数的最大整数。"

示例：

12和18的公约数：
12的约数：1, 2, 3, 4, 6, 12
18的约数：1, 2, 3, 6, 9, 18

公约数（共同的）：1, 2, 3, 6

最大公约数：6

生活化场景：

阿西噶阿西："想象你有12块巧克力和18块糖果，要平均分给小朋友，最多能分给几个人？"

分给1个人：12÷1=12，18÷1=18 ✓
分给2个人：12÷2=6，18÷2=9 ✓
分给3个人：12÷3=4，18÷3=6 ✓
分给4个人：12÷4=3，18÷4=4.5 ✗（糖果分不均）
分给5个人：12÷5=2.4 ✗
分给6个人：12÷6=2，18÷6=3 ✓

最多分给6个人 → gcd(12, 18) = 6

哈吉米："懂了，GCD就是最大的公因数。"

二、方法1：短除法（暴力）

南北绿豆："小学学过的短除法。"

2.1 短除法过程

示例：求gcd(12, 18)

   2 | 12  18
   ───────────
   3 |  6   9
   ───────────
       2   3（不能再除了）

gcd = 2 × 3 = 6

暴力代码思路：

从min(a, b)往下试：

gcd(12, 18)：
  试12：12%12=0 ✓，18%12=6 ✗
  试11：12%11=1 ✗
  ...
  试6：12%6=0 ✓，18%6=0 ✓
  
答案：6

Java版本：

public int gcd(int a, int b) {
    for (int i = Math.min(a, b); i >= 1; i--) {
        if (a % i == 0 && b % i == 0) {
            return i;
        }
    }
    return 1;
}

时间复杂度：O(min(a, b))

哈吉米："如果a和b很大，要试很多次。"

南北绿豆："所以需要更聪明的方法。"

三、方法2：辗转相除法（欧几里得算法）

阿西噶阿西："辗转相除法是2000多年前欧几里得发明的，超级巧妙。"

3.1 核心定理

辗转相除法定理：

gcd(a, b) = gcd(b, a % b)

为什么这个等式成立？

南北绿豆："数学证明：设d = gcd(a, b)，即：

  • a = d × m
  • b = d × n（m和n互质）

那么：

a % b = a - k × b = d × m - k × d × n = d × (m - k × n)

所以d也是b和a%b的公约数

反过来，b和a%b的公约数也是a和b的公约数

所以：gcd(a, b) = gcd(b, a % b)

哈吉米："数学推导有点绕..."

阿西噶阿西："不理解也没关系，记住这个规律就行，关键是它确实对。"

3.2 辗转相除法过程

示例：gcd(12, 18)

gcd(12, 18)
= gcd(18, 12)（调整顺序，让大的在前）
= gcd(12, 6)（18 % 12 = 6）
= gcd(6, 0)（12 % 6 = 0）
= 6（当b=0时，a就是GCD）

表格演示：

步骤aba % b操作
118126gcd(18,12) → gcd(12,6)
21260gcd(12,6) → gcd(6,0)
360-返回6

再举个例子：gcd(48, 18)

步骤aba % b操作
1481812gcd(48,18) → gcd(18,12)
218126gcd(18,12) → gcd(12,6)
31260gcd(12,6) → gcd(6,0)
460-返回6

哈吉米："每次b变成a%b，越来越小，最后变成0。"

南北绿豆："对，当b=0时，a就是最大公约数。"

3.3 代码实现

Java版本（递归）：

public int gcd(int a, int b) {
    if (b == 0) {
        return a;
    }
    return gcd(b, a % b);
}

Java版本（迭代）：

public int gcd(int a, int b) {
    while (b != 0) {
        int temp = a % b;
        a = b;
        b = temp;
    }
    return a;
}

C++版本（递归）：

int gcd(int a, int b) {
    if (b == 0) {
        return a;
    }
    return gcd(b, a % b);
}

C++版本（迭代）：

int gcd(int a, int b) {
    while (b != 0) {
        int temp = a % b;
        a = b;
        b = temp;
    }
    return a;
}

Python版本（递归）：

def gcd(a, b):
    if b == 0:
        return a
    return gcd(b, a % b)

Python版本（迭代）：

def gcd(a, b):
    while b != 0:
        a, b = b, a % b
    return a

时间复杂度：O(log(min(a, b)))

为什么是O(logn)？

南北绿豆："每次取模，b至少减少一半（斐波那契数列最坏情况）。"

最坏情况：a和b是相邻的斐波那契数

gcd(F_n, F_n-1)需要n-1次递归
而F_n ≈ φ^n（φ是黄金比例）

所以递归次数 ≈ log(F_n)

哈吉米："从O(min(a,b))优化到O(logn)，快太多了！"

四、最小公倍数LCM

南北绿豆："GCD和LCM有个巧妙关系。"

4.1 LCM是什么

最小公倍数（Least Common Multiple，LCM）：能同时被两个数整除的最小整数。

示例：

12的倍数：12, 24, 36, 48, 60, 72, ...
18的倍数：18, 36, 54, 72, 90, ...

公倍数：36, 72, 108, ...

最小公倍数：36

4.2 GCD与LCM的关系

核心公式：

a × b = gcd(a, b) × lcm(a, b)

所以：
lcm(a, b) = a × b / gcd(a, b)

示例：

a = 12, b = 18

gcd(12, 18) = 6
lcm(12, 18) = 12 × 18 / 6 = 216 / 6 = 36

代码：

Java版本：

public int lcm(int a, int b) {
    return a / gcd(a, b) * b; // 注意：先除再乘，避免溢出
}

C++版本：

int lcm(int a, int b) {
    return a / gcd(a, b) * b;
}

Python版本：

def lcm(a, b):
    return a * b // gcd(a, b)

注意：a / gcd(a, b) * b而不是a * b / gcd(a, b)，避免a×b溢出。

五、GCD的应用

5.1 约分

问题：把分数化简到最简形式

分数：12/18

gcd(12, 18) = 6

约分：12÷6 / 18÷6 = 2/3

代码：

public int[] simplify(int numerator, int denominator) {
    int g = gcd(numerator, denominator);
    return new int[]{numerator / g, denominator / g};
}

5.2 LeetCode 1071 - 字符串的最大公因子

题目：

对于字符串 s 和 t，只有在 s = t + ... + t（t 自身连接 1 次或多次）时，我们才认定 "t 能除尽 s"。

给定两个字符串 str1 和 str2 。返回最长字符串 x，要求满足 x 能除尽 str1 且 x 能除尽 str2。

示例：
输入：str1 = "ABCABC", str2 = "ABC"
输出："ABC"

输入：str1 = "ABABAB", str2 = "ABAB"
输出："AB"

思路：字符串的GCD就是长度的GCD。

代码：

Java版本：

public String gcdOfStrings(String str1, String str2) {
    // 如果str1+str2 != str2+str1，说明没有公因子
    if (!(str1 + str2).equals(str2 + str1)) {
        return "";
    }
    
    // 长度的GCD
    int len = gcd(str1.length(), str2.length());
    
    return str1.substring(0, len);
}

private int gcd(int a, int b) {
    return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
}

哈吉米："原来GCD还能用在字符串上！"

六、总结

6.1 核心要点

南北绿豆总结：

  1. 辗转相除法：gcd(a, b) = gcd(b, a % b)
  2. 时间复杂度：O(logn)
  3. GCD与LCM关系：a × b = gcd × lcm
  4. 应用：约分、字符串GCD、周期问题

6.2 递归 vs 迭代

阿西噶阿西：

  • 递归：代码简洁，容易理解
  • 迭代：避免栈溢出（数字很大时）

哈吉米："一般用递归就够了。"

参考资料：

  • 《算法导论》- Thomas H. Cormen
  • 《具体数学》- Ronald L. Graham
  • 欧几里得算法 - Wikipedia
avatar
文章
阅读
粉丝