背包问题的初步认识

现在是2025年10月15日晚上，不知不觉大二上学期已经来到了第7周，可是我算法的学习越来越迷茫了，渐渐意识到ACM的困难，我还是做不到把所有时间都梭哈在这上面。这种状态从暑假回来就一直持续着。今天趁着时间稍稍充裕，在AcWing上开始了动态规划的部分，其实暑假就在洛谷上写过了10多道动态规划了，今天做了两道题————01背包、完全背包，做个总结：

先贴优化后的核心代码

01背包

    for (int i=1;i<=n;i++){
            for (int j=V;j>=v[i];j--){
                    dp[j]=max (dp[j],dp[j-v[i]]+w[i]);
            }
        }

完全背包

for (int i=1;i<=n;i++){
	for (int j=v[i];j<=V;j++){
		dp[j]=max (dp[j],dp[j-v[i]]+w[i]);
	}
}

（ dp[i][j] 表示从前 i 种物品中进行选择，总体积小于等于 j 所能获得的最大价值）

观察发现两段代码都有dp[j]=max (dp[j],dp[j-v[i]]+w[i])只是j的遍历顺序不同，要理解为什么遍历影响这么大要从动态规划的基本形式看————

01背包

for (int i = 1; i <= n; i ++ ){
    for (int j = 1; j <= m; j ++){
        if(v[i] <= j){
            dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - v[i]] + w[i]);
        }
        else{
            dp[i][j] = dp[i - 1][j];
        }
    }
}

因为 dp[i][j] 从 dp[i-1][j] 和 dp[i-1][j-v[i]]+w[i] 中得来，所以转化成滚动数组的时候 dp[j] 是依赖于上一层的，应该是还没有更新的，所以采用倒序；

完全背包

    for(int i = 1; i <= n; i ++ ){
        for(int j = 0; j <= m; j ++ ){
            if(v[i] <= j)
                dp[i][j] =max(dp[i - 1][j], dp[i][j - v[i]] + w[i]);
            else
                dp[i][j] = dp[i - 1][j];
        }
    }

可以发现，在更新 dp[j] 时，dp[j-v[i]] 必须是“本轮已经更新过的”。也就是说，我们必须让内层的j从小到大，这样 dp[j-v[i]] 在本轮i中已经更新过，包含了多次使用第i个物品的信息，这正是二维式 dp[i][j-v[i]] 的含义。

直觉记忆：

01背包：上一层转移，倒序

完全背包：本层转移，正序

最后想说，对于任何背包问题，应该先写出动态规划的基本形式，然后再进行优化。

01背包模版

完全背包模版

//希望这篇文章能再次激起我算法学习的动力吧，尽量每天对学习内容做个总结。

共勉！