1. 递归函数的定义
（一）递归函数的定义和格式
递归是一种常用的解决问题的方法，特别适用于解决可以被分解为类似子问题的问题。递归函数通常由两个主要部分组成：起始条件（或基线条件）和递归规则（或递归关系）。 起始条件：一个递归的终止条件，确保递归不会无限进行。它处理最简单的情况并返回结果。
递归规则：在这个部分，函数会调用自身，以解决一个更小的子问题。
基本结构：
def recursiveFunction(parameters): ReturnType = {
// 起始条件
if (base condition) {
return base case result
} else {
// 递归规则
return recursiveFunction(smaller parameters)
}
}
在 Scala 中，递归函数是指在函数内部直接或间接调用自身的函数。定义递归函数时，由于编译器需要知道函数的返回类型才能正确处理递归调用，所以 必须显式声明函数的返回类型 。
示例：使用递归计算阶乘
def factorial(n: Int): Int = {
if (n == 0) 1
else n * factorial(n - 1)
}
2. 递归函数的实现结构
递归函数通常包含两个关键部分：
基线条件（Base Case） ： 这是递归终止的条件，用于防止函数无限递归下去，避免造成栈溢出错误。当满足基线条件时，函数不再调用自身，而是返回一个确定的值。例如在计算阶乘的 factorial 函数中，if (n == 0) 1 就是基线条件。
递归调用（Recursive Call） ： 函数在不满足基线条件时，通过调用自身来处理更小的子问题。随着递归的进行，问题规模不断减小，最终会达到基线条件。例如在 factorial 函数中，n * factorial(n - 1) 就是递归调用，每次递归调用时 n 的值都会减小，直到 n 变为 0 满足基线条件。
（二）案例一：计算累加
计算一个整数的累加是一个经典的递归问题。假设我们要计算 n 的累加和，记作 f(n) = 1 + 2 + 3 + ... + n ，其定义为：
起始条件：f(1) = 1
递归规则：f(n)= n + f(n-1)
示例：
def factorial(n: Int): Int = {
if (n == 0) {
1 // 起始条件
} else {
n + factorial(n - 1) // 递归规则
}
}
（三）案例二： 整数的阶乘
计算一个整数的阶乘是一个经典的递归问题。假设我们要计算 n 的阶乘，记作 n!=123*4...*n，其定义为：
起始条件：0! = 1
递归规则：n! = n * (n-1)!
def factorial(n: Int): Int = {
if (n == 0) {
1 // 起始条件
} else {
n * factorial(n - 1) // 递归规则
}
println(factorial(5)) // 输出: 120
3. 常见的递归函数
（1）计算斐波那契数列
斐波那契数列的定义为：F(0) = 0，F(1) = 1，F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)（n > 1）。
示例代码：
def fibonacci(n: Int): Int = {
if (n == 0) 0
else if (n == 1) 1
else fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2)
}
（四）案例三：斐波那契数列
斐波那契数列的定义是：
起始条件：f(0) = 0 , f(1) = 1
递归规则：f(n) = f(n-1) + f(n-2)（当 n ≥ 2）。求它的第n项。 参考代码：
def fibonacci(n: Int): Int = {
if (n == 0) {
0 // 起始条件
} else if (n == 1) {
1 // 起始条件
} else {
fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2) // 递归规则
}
}
（2）列表求和
假设我们有一个整数列表，使用递归函数来计算列表中所有元素的和。
示例代码：
def listSum(list: List[Int]): Int = {
list match {
case Nil => 0
case head :: tail => head + listSum(tail)
}
}
这里使用了模式匹配，Nil 表示空列表，是基线条件，返回 0 ；head :: tail 表示列表有元素，将列表的头元素 head 与剩余列表 tail 的和相加，通过递归不断处理剩余列表，直到列表为空。
（五）案例四：打印数字的各个位数
起始条件：f(n) = 输出个位 , n<9
递归规则：f(n) = f(n/10）+ 输出个位（当 n ≥ 10）
示例：
def printn(n: Int) = {
if(n < 9){
print(n%10)
} else {
printn(n/10)
print(n%10)
}
}
（3）深度优先遍历树结构
假设有一个简单的二叉树结构定义：
sealed trait TreeNode
case class Leaf(value: Int) extends TreeNode
case class Branch(left: TreeNode, right: TreeNode) extends TreeNode
下面是一个递归函数来计算二叉树所有节点值的和：
def treeSum(node: TreeNode): Int = {
node match {
case Leaf(v) => v
case Branch(l, r) => treeSum(l) + treeSum(r)
}
}
这里，Leaf(v) 是基线条件，返回叶子节点的值；Branch(l, r) 则通过递归分别计算左子树和右子树的节点值之和，然后将它们相加。
