核心思想：矩阵乘法的维度匹配
原始分解：A = U Σ Vᵀ
- A: m × n 矩阵
- U: m × m 矩阵
- Σ: m × n 对角矩阵
- Vᵀ: n × n 矩阵
压缩过程的具体步骤
第1步：截断矩阵
我们只保留前 k 个最大的奇异值：
- Uₖ: 取 U 的前 k 列 → 维度变为 m × k
- Σₖ: 取 Σ 的前 k 行和前 k 列 → 维度变为 k × k
- Vₖᵀ: 取 Vᵀ 的前 k 行 → 维度变为 k × n
第2步：验证维度匹配
让我们检查矩阵乘法的维度：
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Uₖ (m×k) × Σₖ (k×k) × Vₖᵀ (k×n) = Aₖ (m×n)
关键点：压缩后的三个矩阵相乘，得到的 Aₖ 与原矩阵 A 具有完全相同的维度 (m × n)！
具体例子说明
假设原图是 1000 × 1000 像素的图片：
- 原矩阵 A: 1000 × 1000 = 1,000,000 个元素
- 选择 k = 50
压缩后的存储：
- Uₖ: 1000 × 50 = 50,000 个元素
- Σₖ: 50 × 50 = 2,500 个元素
- Vₖᵀ: 50 × 1000 = 50,000 个元素
- 总计: 102,500 个元素
压缩率: 1,000,000 ÷ 102,500 ≈ 9.76 倍
重构过程可视化
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原始矩阵 A (1000×1000)
↓ SVD分解
U (1000×1000) × Σ (1000×1000) × Vᵀ (1000×1000)
↓ 截取前k个成分
Uₖ (1000×50) × Σₖ (50×50) × Vₖᵀ (50×1000)
↓ 矩阵乘法
近似矩阵 Aₖ (1000×1000)
为什么这样能对应原矩阵？
- 位置对应：Aₖ[i,j] 仍然表示原矩阵中第 i 行第 j 列位置的近似值
- 结构保持：Aₖ 保持了 A 的行列结构
- 信息保留：最重要的模式（对应大奇异值）被保留，次要细节被舍弃
更直观的理解
想象一个拼图：
- 原图：用 1000 块小拼图块完成
- 压缩后：只用最重要的 50 块大拼图块来近似
- 结果：还能看出原图的样子，只是细节少了
在图片压缩中，Aₖ 的每个元素仍然对应图片中特定像素的位置，只是像素值是通过重要特征的线性组合计算出来的近似值。
总结
通过保持矩阵乘法的维度一致性，压缩后的 Uₖ Σₖ Vₖᵀ 乘积自动生成与原矩阵 A 同维度的 Aₖ，从而保证了"对应关系"。Aₖ 中的每个元素 (i,j) 仍然对应原矩阵中相同位置的值，只是精度有所损失。
