使用Scipy和Sympy解微分方程简要介绍使用 scipy 和sympy 求解微分方程，包括函数的接口和用法介绍，求解

1 核心概念

欧拉法是最基础、最直观的常微分方程（ODE）数值解法之一，由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）在 18 世纪提出。它的核心思想非常简单：

用切线近似代替曲线，一步步递推求解。 具体来说，假设我们有一阶常微分方程初值问题：

\frac{dy}{dt} = f(t, y), \quad y(t_0) = y_0

欧拉法将时间区间离散化，用小步长 h 进行迭代：

y_{n+1} = y_n + h \cdot f(t_n, y_n)

其中：

欧拉法的推导基于泰勒展开。对 $y(t_{n+1}$ ) 在 $t_n$ 处做一阶泰勒展开：

y(t_{n+1}) = y(t_n) + h \cdot y'(t_n) + O(h^2)

忽略高阶小项 O(h^2) ，并用数值近似代替导数：

y_{n+1} \approx y_n + h \cdot f(t_n, y_n)

示例：

假设有微分方程：

\frac{dy}{dt} = -y, \quad y(0) = 1

取步长 h = 0.1 ，用欧拉法计算几步：

n	$t_n$	$y_n$	$f(t_n, y_n) = -y_n$	$y_{n+1} = y_n + h \cdot f(t_n, y_n)$
0	0.0	1.0	-1.0	1.0 + 0.1 × (-1.0) = 0.9
1	0.1	0.9	-0.9	0.9 + 0.1 × (-0.9) = 0.81
2	0.2	0.81	-0.81	0.81 + 0.1 × (-0.81) = 0.729

可以看到，数值解逐步逼近真实解 y(t) = e^{-t} 。

步骤：
- 用symbols声明符号变量，若变量为函数需指定cls = Function。
- 通过Eq对象创建方程，分别存储方程左右两边，用diff方法表示求导。
- 调用dsolve(eq, 待求函数)求解。
示例：求解y′′+2y′+y=x2，代码如下：

from sympy import * 
y = symbols('y', cls = Function) 
x = symbols('x') 
eq = Eq(y(x).diff(x, 2)+2*y(x).diff(x, 1)+y(x), x*x) print(dsolve(eq, y(x)))

方法一：
- 用symbols批量创建变量，将方程用列表表示，移项使右侧为 0。
- 用字典保存函数初始值，通过ics参数传入dsolve求解。
方法二：
- 对于线性微分方程组，可利用Matrix对象构造函数向量和系数矩阵，对方程组矩阵化求解。

示例：求解

\begin{cases} \frac{\mathrm{d}x_1}{\mathrm{d}t} = 2x_1 - 3x_2 + 3x_3, & x_1(0) = 1 \\ \frac{\mathrm{d}x_2}{\mathrm{d}t} = 4x_1 - 5x_2 + 3x_3, & x_2(0) = 2 \\ \frac{\mathrm{d}x_3}{\mathrm{d}t} = 4x_1 - 4x_2 + 2x_3, & x_3(0) = 3 \end{cases}