稀疏图
好的，我们来详细解释一下“稀疏图”这个概念。
核心定义
稀疏图 指的是图中边的数量 |E| 远小于其可能的最大边数的图。
换句话说，在一个有 |V| 个顶点的图中，可能的最大边数（对于无向图）是大约 |V|² 的数量级（精确值是 |V|*(|V|-1)/2 ）。如果实际边数 |E| 远远小于这个最大值，我们就称这个图为稀疏图。
与之相对的是稠密图，即边的数量 |E| 接近可能的最大边数的图。
一个更量化的理解
虽然没有一个绝对统一、严格的数学定义（例如“边数少于 |V| log |V| 就是稀疏图”），但在算法和数据结构领域，通常用以下方式来理解和界定：
如果一个图的边数 |E| 与顶点数 |V| 的数量级相当，即 |E| ≈ O(|V|)，那么这个图通常被认为是稀疏的。
例如：
- 一个包含 10,000 个顶点和 20,000 条边的图是稀疏的（|E| ≈ 2|V|）。
- 一个包含 10,000 个顶点和 5,000,000 条边的图（最大边数约50,000,000）也是相对稀疏的，但已经比较“稠密”了。
而如果一个图的 |E| ≈ O(|V|²)，那么它就是稠密的。 例如：
- 一个包含 1,000 个顶点和 500,000 条边的图可以被认为是稠密的（|E| ≈ |V|² / 2）。
为什么稀疏图的概念很重要？
区分稀疏图和稠密图非常重要，因为它直接影响了我们选择何种数据结构来存储图，以及选择何种算法来解决问题。
1. 数据结构的选择
-
邻接矩阵：使用一个 |V| x |V| 的二维数组来存储边。检查两个顶点是否相连非常快（O(1)），但空间复杂度为 O(|V|²)。
- 适用于稠密图，因为空间被有效利用了。
- 不适用于稀疏图，因为会浪费大量空间来存储不存在的边（无数个0）。
-
邻接表：为每个顶点创建一个链表，存储与之相邻的所有顶点。空间复杂度为 O(|V| + |E|)。
- 非常适用于稀疏图，因为它只存储实际存在的边，极大地节省了空间。
- 对于稠密图，它也可以工作，但可能不如邻接矩阵高效。
结论：处理稀疏图时，邻接表通常是更优的选择。
2. 算法的选择
某些算法在稀疏图上的表现远好于在稠密图上的表现，反之亦然。
-
迪杰斯特拉算法：用于求单源最短路径。
- 其标准版本使用邻接矩阵，时间复杂度为 O(|V|²)。
- 如果配合邻接表和最小堆（优先队列） 进行优化，时间复杂度可降为 O(|E| log |V|)。
- 对于稀疏图（|E| ≈ |V|），优化后的版本（O(|V| log |V|)）比标准版本（O(|V|²)）快得多。
-
普里姆算法：用于求最小生成树。
- 同样，使用邻接矩阵的时间复杂度是 O(|V|²)。
- 使用邻接表和优先队列优化后，时间复杂度为 O(|E| log |V|)。
- 因此，在稀疏图中，优化后的普里姆算法效率更高。
相反，有些算法在稠密图上更高效，例如弗洛伊德算法（所有顶点对最短路径），它的时间复杂度是固定的 O(|V|³)，与边数无关。对于稀疏图，有更好的替代算法（如运行 |V| 次迪杰斯特拉算法）。
现实世界中的例子
绝大多数现实世界的网络都是稀疏图：
- 社交网络：虽然Facebook有数十亿用户，但每个用户平均只有几百个朋友。边的数量是 O(|V|) 级别，而不是 O(|V|²) 级别。
- 交通网络：一个城市的道路交叉点（顶点）很多，但每个交叉点通常只连接到3-4个其他交叉点。
- 互联网：网页（顶点）通过超链接（边）连接，但每个页面的外链数是有限的。
总结
| 特性 | 稀疏图 | 稠密图 | ||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 边数 | E | << | V | ²，通常 | E | ≈ O( | V | ) | E | ≈ O( | V | ²) | ||
| 数据结构 | 邻接表（节省空间） | 邻接矩阵（访问快） | ||||||||||||
| 算法示例 | 优先队列优化的迪杰斯特拉、普里姆 | 标准的迪杰斯特拉、弗洛伊德 | ||||||||||||
| 现实世界 | 非常常见（社交网络、交通网） | 相对少见（某些电路设计、完全图） |
简单来说，当你遇到的问题涉及到的图边数不多，远远达不到每个顶点都和其他所有顶点相连的程度时，你首先就应该想到它是一个稀疏图，并优先考虑使用邻接表和为此优化的算法。
所以CSP2023第三题可以把m和n看做是相等的，接下来只要分析每个选项时间复杂度最大的一个
#哈夫曼树的一些误解 这个说法是完全错误的。哈夫曼树的构造过程和图的深度优先搜索（DFS）是两种完全不同的算法，它们解决的是完全不同的问题，之间没有直接联系。
这是一个常见的概念混淆。下面我将详细解释两者的区别，并分别说明它们的目的。
1. 哈夫曼树 (Huffman Tree)
- 目的：数据压缩。用于构造一种最优的前缀编码（哈夫曼编码），使得编码后的总长度最短。
- 要解决的问题：如何用不等长的二进制码来表示一组字符（或符号），并且要保证任何一个字符的编码都不是另一个字符编码的前缀（前缀码），从而避免二义性。同时，出现频率高的字符用短码，出现频率低的字符用长码，从而实现整体压缩。
- 构造过程（简述）：
- 给定一组字符及其对应的权重（通常是频率）。
- 将这些字符每个都看作一棵只有根节点的树，组成一个森林。
- 每次从森林中选出权重最小的两棵树。
- 将它们合并成一棵新树，新树的根节点权重为两棵子树权重之和。
- 将新树放回森林中。
- 重复步骤3-5，直到森林中只剩下一棵树。这棵树就是哈夫曼树。
- 本质：一种贪心算法，用于构建最优二叉树。
2. 深度优先搜索 (DFS - Depth-First Search)
- 目的：遍历或搜索图或树结构。用于探索图中的所有顶点，或者寻找从一个顶点到另一个顶点的路径。
- 要解决的问题：如何系统地访问图中的每一个顶点，且每个顶点只访问一次。DFS的策略是“一条路走到黑”，尽可能深入地探索分支，直到无法继续前进再回溯。
- 过程（简述）：
- 从图中某个起始顶点
v开始，将其标记为“已访问”。 - 查找
v的第一个未被访问的邻接顶点w。 - 如果
w存在，则从w开始继续进行DFS（递归）。 - 如果
w不存在，则回溯到v的上一个顶点。 - 重复此过程，直到所有从起始顶点可达的顶点都被访问到。
- 从图中某个起始顶点
- 本质：一种基础的图遍历算法。
对比表格
| 特性 | 哈夫曼树 (Huffman Tree) | 深度优先搜索 (DFS) |
|---|---|---|
| 应用领域 | 数据压缩（如ZIP, JPEG文件） | 图/树遍历、寻路、拓扑排序等 |
| 输入 | 一组带权重的符号 | 一个图（或树）和一个起点 |
| 输出 | 一棵最优编码树（哈夫曼树） | 图中顶点的访问序列（一种遍历顺序） |
| 核心操作 | 合并权重最小的树 | 递归地访问和回溯 |
| 数据结构 | 优先队列（最小堆）用于高效选取最小权重的树 | 栈（递归调用栈或显式栈） |
| 目标 | 最小化编码后的总长度 | 访问图中的所有顶点 |
结论
您可能将两个概念记混了。请记住：
- 提到压缩、编码、频率，应该想到哈夫曼树。
- 提到遍历、路径、连通性，应该想到DFS（深度优先搜索） 或 BFS（广度优先搜索）。
它们之间没有构造或实现上的关系。
再讲一下散列表！！！！！
csp2023第14题
首先f(n)函数是在求十六进制下，各位数字之和，ni = f(ni-1),要求调用自身永远返回的 都是9，再反复调用结果依然是9，那么 直接能得到结果为9的是： 108,117，126,135，144,153,162,171，180 重复两次能得到9的是： 189,198 先得到27再得到9的不存在，因为19F和1A0各位数字之和都小于27
csp2023第15题
好的，我们来分析您提供的 quick_power 函数（快速幂）的时间复杂度。
代码分析
double quick_power(double x, unsigned n){
if (n == 0) return 1;
if (n == 1) return x;
return quick_power(x, n/2) * quick_power(x, n/2) * ((n & 1) ? x : 1);
}
时间复杂度：O(n)
这是一个常见的错误实现，其时间复杂度是线性的 O(n)，而不是预期的对数时间 O(log n)。
为什么是 O(n)？
关键在于这一行：
return quick_power(x, n/2) * quick_power(x, n/2) * ((n & 1) ? x : 1);
^^^^ ^^^^
(第一次递归调用) (第二次递归调用)
问题在于： 您对 quick_power(x, n/2) 进行了两次独立的递归调用。
让我们画出当 n = 8 时的递归树来理解：
pow(x, 8)
/ \
pow(x, 4) pow(x, 4) // 计算了两次相同的pow(x,4)
/ \ / \
pow(x,2) pow(x,2) pow(x,2) pow(x,2) // 计算了四次相同的pow(x,2)
/ \ / \ / \ / \
pow(x,1) ... (总共8个pow(x,1))
- 计算
pow(x, 8)需要计算 2 次pow(x, 4)。 - 计算
pow(x, 4)需要计算 2 次pow(x, 2)。因为有两个pow(x, 4)，所以总共需要计算 4 次pow(x, 2)。 - 计算
pow(x, 2)需要计算 2 次pow(x, 1)。因为有四个pow(x, 2)，所以总共需要计算 8 次pow(x, 1)。
您会发现，递归树的总节点数（即函数调用次数）与 n 成正比。对于 n = 8，调用了 15 次函数。对于 n，函数调用次数大约是 2 * n - 1。
因此，时间复杂度是 O(n)。
如何修改为 O(log n)？
正确的快速幂实现应该只计算一次 quick_power(x, n/2)，然后将其结果复用。
修改后的代码：
double quick_power(double x, unsigned n) {
if (n == 0) return 1.0;
if (n == 1) return x;
double half = quick_power(x, n / 2); // 关键：只递归调用一次，将结果存入变量
double result = half * half; // 复用结果
if (n & 1) { // 如果n是奇数，多乘一个x
result *= x;
}
return result;
}
分析修改后的版本：
每次递归调用都将问题规模 n 减半（n -> n/2），并且每次只进行一次递归调用。
递归的深度是 log₂(n)，每次递归只进行常数次操作（乘法、判断）。
因此，时间复杂度是 O(log n)。
总结
| 版本 | 时间复杂度 | 原因 |
|---|---|---|
| 题目的版本 | O(n) | 对相同的子问题进行了重复的递归调用，递归树节点数与n成正比。 |
| 修改后的版本 | O(log n) | 每个子问题只计算一次，递归深度为 log(n)。 |
结论：您提供的 quick_power 函数的时间复杂度是 O(n)。 请使用修改后的版本来实现对数级的复杂度。
csp2023 阅读程序第一题
#include<iostream>
using namespace std;
unsigned short f(unsigned short x) {
x ^= x << 6; // 左移6位后与自身异或
x ^= x >> 8; // 右移8位后与自身异或
return x;
}
int main() {
unsigned short x;
cin >> x;
unsigned short y = f(x);
cout << y << endl;
return 0;
}
好的，我们来分析图片中的代码。这段代码实现了一个简单的线性反馈移位寄存器（LFSR）或类似的位操作函数，常用于生成伪随机数或进行简单的混淆/加密。
代码功能分析
#include<iostream>
using namespace std;
unsigned short f(unsigned short x) {
x ^= x << 6; // 左移6位后与自身异或
x ^= x >> 8; // 右移8位后与自身异或
return x;
}
int main() {
unsigned short x;
cin >> x;
unsigned short y = f(x);
cout << y << endl;
return 0;
}
函数 f 的操作分步解析：
-
x ^= x << 6;- 将
x左移 6 位，然后与原始的x进行按位异或（XOR）操作。 - 效果：这一步将
x的高位信息扩散到低位。左移 6 位后，原始x的比特与它左边第 6 位的比特进行了混合。这是一种线性变换，增加了位的混淆。
- 将
-
x ^= x >> 8;- 将上一步的结果右移 8 位，然后与自身进行异或。
- 效果：
unsigned short通常是 16 位。右移 8 位相当于将高 8 位移动到了低 8 位的位置。这一步将高字节的信息混合到低字节中。它与第一步结合，使得整个 16 位的所有比特都相互影响。
整体效果：
这个函数 f 是一个可逆的线性变换（因为使用的都是异或和移位，构成一个线性系统）。对于任意输入 x（16位），它输出一个 16 位的值 y。这个变换是单射和满射的，即每一个输入都对应一个唯一的输出，并且每一个输出也都对应一个唯一的输入。
时间复杂度分析
时间复杂度：O(1)
原因：
- 函数
f内部的所有操作都是固定次数的位操作（两次移位、两次异或赋值）。 - 这些操作的执行时间与输入值
x的大小无关。无论x是 0 还是 65535，计算机执行这两行代码的时钟周期数是相同的。 - 因此，该函数的时间复杂度是常数时间，记作 O(1)。
空间复杂度分析
空间复杂度：O(1)
原因：
- 函数
f只使用了固定数量的内存：一个输入参数x（2字节）和一个返回值（2字节）。在计算过程中没有分配任何与输入规模相关的额外空间（如数组、递归调用栈等）。 main函数中也只使用了固定大小的变量x和y（各2字节）。- 因此，该程序的辅助空间需求是常数，与输入值无关，空间复杂度为 O(1)。
总结
| 方面 | 分析结果 | 原因 |
|---|---|---|
| 功能 | 对输入的16位数进行一个可逆的线性混淆变换 | 通过移位和异或操作，将数据的比特位充分混合。 |
| 时间复杂度 | O(1) (常数时间) | 只有固定次数的操作，执行时间不随输入变化。 |
| 空间复杂度 | O(1) (常数空间) | 只使用了固定数量的内存（几个变量），不随输入变化。 |
补充说明： 这种类型的代码常见于：
- **伪随机数生成器（PRNG）**的组成部分。
- 简单的哈希函数或混淆函数。
- 嵌入式系统或硬件描述语言中的位操作技巧。
当输入为“64”时，执行完第 5 行后X 的值是多少
好的，我们来逐步计算当输入 x = 64 时，执行完第5行（x ^= x << 6;）后 x 的值。
第一步：了解数据表示
unsigned short通常是 16 位 无符号整数。- 输入值
64的二进制表示：64的二进制是0000 0000 0100 0000（16位形式）。
第二步：执行第5行 x ^= x << 6;
这行代码是复合赋值，等价于 x = x ^ (x << 6)。
-
计算
x << 6(左移6位):- 原始
x:0000 0000 0100 0000(十进制 64) - 左移6位:
0001 0000 0000 0000(十进制 4096)- 解释：
0100 0000(64) 向左移动6位，变成了01后面跟上10个0，即0100 0000 0000 0000？不对，我们仔细计算： - 更准确的计算：64的二进制是
1000000（7位）。在16位中，是0000000001000000。 - 左移6位：将
1000000向左移6位，变成1000000000000（13位），在16位中表示就是0001000000000000（即 1<<12 = 4096）。
- 解释：
- 原始
-
计算
x ^ (x << 6)(异或操作):x:0000 0000 0100 0000(64)x << 6:0001 0000 0000 0000(4096)- 异或结果:
0001 0000 0100 0000(4160)- 异或规则：相同为0，不同为1。
- 前8位：
0000 0000XOR0001 0000=0001 0000 - 后8位：
0100 0000XOR0000 0000=0100 0000 - 合并：
0001 0000 0100 0000
第三步：验证结果
- 二进制
0001 0000 0100 0000转换为十进制：- 2^12 + 2^6 = 4096 + 64 = 4160。
- 因此，执行完第5行后，
x的值是 4160。
最终答案
当输入为“64”时，执行完第5行后，x 的值是 4160。
输入为512时，输出是多少
好的，我们来计算当输入为 512 时，程序的输出 y 是多少。
程序的核心是函数 f：
unsigned short f(unsigned short x) {
x ^= x << 6; // 第5行
x ^= x >> 8; // 第6行
return x;
}
输入 x = 512。我们需要逐步计算函数 f 的执行过程。
第一步：了解数据表示
unsigned short是 16 位 无符号整数。- 输入值
512的 16 位二进制表示为：0000 0010 0000 0000- 因为 2⁹ = 512，所以第9位（从0开始计数）为1。
第二步：执行第5行 x ^= x << 6; (等价于 x = x ^ (x << 6))
-
计算
x << 6(将x左移6位):x:0000 0010 0000 0000(512)x << 6:1000 0000 0000 0000(32768)- 将第9位的1向左移动6位，变成了第15位（最高位）为1。
-
计算
x ^ (x << 6)(异或操作):x:0000 0010 0000 0000(512)x << 6:1000 0000 0000 0000(32768)- 异或结果:
1000 0010 0000 0000(33280)- 异或规则：相同为0，不同为1。
- 最高位：0 XOR 1 = 1
- 第9位：1 XOR 0 = 1
- 其他位都是0
执行完第5行后，x 的值变为 33280。
第三步：执行第6行 x ^= x >> 8; (等价于 x = x ^ (x >> 8))
- 现在的
x是 33280，二进制为1000 0010 0000 0000
-
计算
x >> 8(将x右移8位):x:1000 0010 0000 0000(33280)x >> 8:0000 0000 1000 0010(130)- 将高8位
1000 0010移动到低8位的位置。
- 将高8位
-
计算
x ^ (x >> 8)(异或操作):x:1000 0010 0000 0000(33280)x >> 8:0000 0000 1000 0010(130)- 异或结果:
1000 0010 1000 0010(33474)- 按位异或：高8位保持不变，低8位是
0000 0000XOR1000 0010=1000 0010
- 按位异或：高8位保持不变，低8位是
执行完第6行后，x 的值变为 33474。
最终输出：
函数 f 返回 x 的值，即 33474。
验证计算
我们可以用二进制计算来验证：
初始值: 0000 0010 0000 0000 (512)
第5行后:
- 左移6位:
1000 0000 0000 0000(32768) - 异或结果:
1000 0000 0000 0000XOR0000 0010 0000 0000=1000 0010 0000 0000(33280)
第6行后:
- 右移8位:
0000 0000 1000 0010(130) - 异或结果:
1000 0010 0000 0000XOR0000 0000 1000 0010=1000 0010 1000 0010(33474)
最终答案
当输入为"512"时，输出是 33474。
csp2023程序阅读第二题
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;
// 使用筛法预处理并计算1~n中每个数的所有因子和之和 (∑σ(i))
long long solve1(int n) {
// p数组：标记数组，初始为true。p[j]=true表示j尚未被处理
vector<bool> p(n+1, true);
// f数组：预处理阶段存储最小质因子，计算阶段重用于存储因子和σ(i)
// g数组：存储最小质因子的最高幂次
vector<long long> f(n+1, 0), g(n+1, 0);
f[1] = 1; // 1的因子和为1
// 第一阶段：预处理最小质因子和最高幂次 (筛法)
for (int i = 2; i * i <= n; i++) {
if (p[i]) { // 如果i是质数（尚未被标记）
vector<int> d;
// 生成i的所有幂次：i, i², i³, ... 直到不超过n
for (int k = i; k <= n; k *= i) {
d.push_back(k);
}
reverse(d.begin(), d.end()); // 反转，从大到小排序
// 从大到小处理每个幂次
for (int k : d) {
// 标记所有k的倍数
for (int j = k; j <= n; j += k) {
if (p[j]) { // 如果j还没有被处理过
p[j] = false; // 标记为已处理
f[j] = i; // 记录最小质因子
g[j] = k; // 记录最小质因子的最高幂次
}
}
}
}
}
// 处理大于sqrt(n)的质数
for (int i = sqrt(n) + 1; i <= n; i++) {
if (p[i]) { // 如果i仍然是质数
f[i] = i; // 最小质因子就是自身
g[i] = i; // 最高幂次就是自身（质数的1次方）
}
}
// 第二阶段：利用积性计算每个数的因子和
long long sum = 1; // 已经包含σ(1)=1
for (int i = 2; i <= n; i++) {
// 关键公式：利用因子和的积性性质
// 如果 i = p^k * m (p是最小质因子，gcd(p, m)=1)
// 那么 σ(i) = σ(p^k) * σ(m) = (p^{k+1}-1)/(p-1) * σ(m)
// 这里：g[i] = p^k, f[i] = p, i/g[i] = m
f[i] = f[i / g[i]] * (g[i] * f[i] - 1) / (f[i] - 1);
sum += f[i]; // 累加每个数的因子和
}
return sum; // 返回所有因子和的总和
}
// 直接计算：∑(i=1 to n) i * ⌊n/i⌋
// 数学上等于 ∑(i=1 to n) σ(i) （所有数的因子和之和）
long long solve2(int n) {
long long sum = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
// 对于每个数i，它在1~n中作为因子出现的次数是⌊n/i⌋
// 因此贡献为 i * ⌊n/i⌋
sum += i * (n / i);
}
return sum; // 返回计算结果
}
int main() {
int n;
cin >> n; // 输入n
// 输出两个函数的结果（理论上应该相同）
cout << solve1(n) << endl; // 使用筛法计算
cout << solve2(n) << endl; // 使用直接方法计算
return 0;
}
csp2022第二题
你同时用 time 命令和秒表为某个程序在单核 CPU 的运行计时。假如 time 命令的输出如下： real 0m30.721s user 0m24.579s sys 0m6.123s 以下最接近秒表计时的时长为（ ）？
根据 time 命令的输出：
- real: 0m30.721s （实际流逝的时间，即秒表计时）
- user: 0m24.579s （用户态CPU时间）
- sys: 0m6.123s （内核态CPU时间）
real time（实际时间） 是指从程序开始到结束所经过的墙钟时间（wall-clock time），也就是秒表测量的时间。它包括了：
- 程序在CPU上运行的时间（user + sys）
- 程序等待的时间（例如I/O操作、阻塞、调度等待等）
因此，最接近秒表计时的时长就是 real time，即 30.721 秒。
为什么？
user和sys时间之和（24.579 + 6.123 = 30.702s）非常接近real时间（30.721s），说明程序几乎一直在CPU上运行，等待时间很少（仅相差0.019s）。- 但秒表测量的是实际流逝的时间，所以就是
real时间。
答案：30.721 秒
csp2022第7题
一个深度为 5（根结点深度为 1）的完全 3 叉树，按前序遍历的顺序给结点从 1 开始编号，则第 100 号结点的父结点是第（ ）号。
树一共5层，每层结点数分别为1，3，9，27，81。 1层满三叉树共1个结点 2层满三叉树共4个结点 3层满三叉树共13个结点 4层满三叉树共40个结点 按照前序遍历顺序先遍历结点1的第一个子树，该子树是4层满三叉树，共40个结点。遍历第二个子树，也是4层满三叉树，共40个结点，因此1的第三个孩子的编号为82。 结点82的第一个子树为3层满三叉树，共13个结点。 82的第二个孩子编号为96。96的第一个孩子编号为97。97是第5层的结点，97的三个孩子编号分别为98，99，100。 因此100的父结点编号是97。
强联通图
强连通图的性质不包括（ ）：
A. 每个顶点的度数至少为 1
B. 任意两个顶点之间都有边相连
C. 任意两个顶点之间都有路径相连
D. 每个顶点至少都连有一条边
我们来分析强连通图的性质以及每个选项：
强连通图（针对有向图）的定义：一个有向图是强连通的，当且仅当图中任意两个顶点 (u) 和 (v) 之间都存在一条从 (u) 到 (v) 的路径和一条从 (v) 到 (u) 的路径。
现在检查每个选项：
-
A. 每个顶点的度数至少为1
如果某个顶点的出度或入度为0，那么它可能无法与某些顶点相互到达（例如，如果出度为0，则无法到达其他顶点；如果入度为0，则其他顶点无法到达它）。因此，强连通图中每个顶点必须至少有一条出边和一条入边（即每个顶点的出度和入度都至少为1），所以度数至少为2（因为度数包括出度和入度）。但选项说“度数至少为1”，这不一定正确（因为可能只有出度或只有入度为1，但这样不满足强连通）。实际上，强连通图要求每个顶点的出度和入度都至少为1，因此总度数至少为2。所以A性质不包括（即不一定成立）。 -
B. 任意两个顶点之间都有边相连
这是完全图的定义，不是强连通图的必要条件。强连通图只要求有路径相连，不一定直接有边。例如，三个顶点形成有向环（a→b, b→c, c→a）是强连通的，但任意两个之间不一定有直接边（a和c之间没有直接边）。所以B不包括。 -
C. 任意两个顶点之间都有路径相连
这正是强连通图的定义（注意是有向路径，并且是双向的）。所以C正确。 -
D. 每个顶点至少都连有一条边
强连通图中每个顶点必须至少有一条出边和一条入边（否则无法与其他顶点相互到达），因此每个顶点至少连有两条边（出边和入边）。但选项说“至少连有一条边”，这虽然成立（因为至少两条边当然包含至少一条边），但这不是强连通图的特有性质（非强连通图也可能有）。然而，题目是问“不包括”，即哪个不是强连通图的性质。实际上D是成立的（每个顶点至少有一条边），但可能不是最精确的。但相比A和B，D是成立的。
但仔细分析：强连通图要求每个顶点出度和入度都至少为1，因此每个顶点至少连有两条边（出边和入边）。所以“每个顶点至少都连有一条边”显然成立（因为至少两条）。所以D是性质。
而A说“度数至少为1”：实际上强连通图要求每个顶点度数至少为2（出度和入度各至少1），所以度数至少为1虽然成立，但不够准确？但题目是“不包括”，即哪个不是性质。实际上A也是成立的（因为至少2肯定包含至少1）。但可能出题者意图是“度数至少为1”不是强连通图特有的（因为非强连通图也可能有），但严格来说A是成立的。
但对比B：B明显不是性质（强连通不一定有直接边）。
实际上，最不包括的是B，因为强连通不要求直接边。
再看A：强连通图每个顶点度数至少为2（有向图中度数=出度+入度），所以“至少为1”成立，但不如至少2精确。但选项A说“至少为1”是正确的（因为2>=1）。所以A也是性质。
但题目是“不包括”，所以B肯定不包括。
另外，C和D都是包括的性质。
所以答案应该是B。
为什么A是性质？
因为强连通图每个顶点度数至少为2（出度和入度都>=1），所以当然度数至少为1。所以A是性质。
为什么D是性质？
每个顶点至少有一条出边和一条入边，所以至少连有两条边，当然至少一条边。所以D是性质。
因此，不包括的是B。
解释： 强连通图要求任意两个顶点之间有路径相连（但不一定直接有边），因此B“任意两个顶点之间都有边相连”不是强连通图的性质（这是完全图的性质）。
欧拉图
每个顶点度数均为 2 的无向图称为“2 正规图”。由编号为从1到n的顶点构成的所有2 正规图，其中包含欧拉回路的不同 2 正规图的数量为（ ）。
我们需要计算由编号为1到n的顶点构成的所有2-正则图中，包含欧拉回路的不同2-正则图的数量。
关键点：
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2-正则图：每个顶点的度数均为2。这样的图由若干个不相交的环（圈）组成。
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欧拉回路：存在一条经过每条边恰好一次并回到起点的回路。对于无向图，欧拉回路存在的充要条件是图连通且所有顶点度数为偶数（这里度数都是2，满足偶数）。但注意：欧拉回路要求图是连通的（即整个图是一个环），否则如果图有多个连通分量（多个环），则不存在经过所有边的欧拉回路（但每个环自身有欧拉回路，但整个图没有）。
- 因此，包含欧拉回路的2-正则图必须是一个单一的环（即整个图是一个长度为n的环）。
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问题转化为：计算顶点编号为1到n的不同的单一环（即哈密顿环）的数量。
- 注意：环是同构的（旋转和翻转相同），但这里顶点有编号（标记顶点），所以不同编号的环视为不同。
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计算不同的环的数量：
- 固定顶点1，然后排列剩下的n-1个顶点：有(n-1)!种排列。
- 但每个环有两种方向（顺时针和逆时针），且旋转后相同？不对，因为顶点编号不同，所以每个环被计算了2次（因为方向）？实际上：
- 对于标记顶点的环，不同的环的数量是(n-1)! / 2。
- 但这里：顶点编号为1到n，考虑所有以1为起点，然后排列其他顶点，但环可以翻转（对称），所以每个环被计算了2次（方向）。
- 因此，不同的环的数量为：(n-1)!/2
然而，我们重新思考：
- 实际上，对于标记顶点的环，固定一个顶点（比如1），然后排列其他n-1个顶点，但这样每个环被计算了2次（因为顺时针和逆时针是相同的环？但标记顶点时，方向不同的环通常视为不同？不，在无向图中，环没有方向，所以顺时针和逆时针是同一个环。
- 所以：固定顶点1，然后排列其他n-1个顶点，但这样每个环被计算了2次（因为环可以从两个方向生成）。
- 因此，不同的环的数量是：(n-1)!/2.
但是：问题问的是“不同的2-正规图”，而2-正则图可能由多个环组成。但这里要求包含欧拉回路，所以必须是一个环（连通）。
所以答案应该是：(n-1)!/2.
验证小n：
- n=3：只有一个三角形环，但顶点编号：有1种环？实际上：环123和132是相同的（无向），所以只有1个。公式：(3-1)!/2=2/2=1。正确。
- n=4：不同的环：固定1，排列2,3,4：有3!=6种排列，但每个环被计算2次（方向），所以6/2=3个环。例如：1234,1243,1324（但1243和1342相同？）。实际上，确实有3个不同的环（标记顶点）。
因此，包含欧拉回路的不同2-正则图的数量为(n-1)!/2.
排列组合
共有 8 人选修了程序设计课程，期末大作业要求由 2 人组成的团队完成。假设不区分每个团队内 2 人的角色和作用，请问共有多少种可能的组队方案（ ）。
不区分角色和作用，即为组合，所以直接C（8,2）= 87/21=28
时间复杂度分析
对于给定的 n，分析以下代码段对应的时间复杂度，其中最为准确的时间复杂度为（ ）。
int i,j,k = 0;
for(int i = 0; i < n; i++){
for(int j = 1; j < n; j*=2;){
k = k + n / 2;
}
}
i从0~n-1循环，循环n次 j从1到n-1，j每次乘以2，j每次循环乘以2直至达到n，循环的次数为 每层循环的循环次数相乘，是总的循环次数。
排序算法的时间复杂度
找最大值最大值
以比较为基本运算,对于2n个数,同时找到最大值和最小值,最坏情况下需要的最少的比较次数为多少？
对于2n个数，同时找到最大值和最小值，最坏情况下需要的最少的比较次数为3n-2。以下是详细解释：
- 将2n个数分成n对，每对进行一次比较，共n次比较，得到每对的较大者和较小者。
- 从n个较大者中找到最大值，需要n-1次比较。
- 从n个较小者中找到最小值，需要n-1次比较。
- 总比较次数为：n + (n-1) + (n-1) = 3n-2。
该算法是最优的，因为理论上已证明，对于n个数（n为偶数），同时找到最大值和最小值的最坏情况下最少比较次数为3n/2 - 2，但这里n表示对数，总数为2n，因此结果为3n-2。
无向图
G是一个非连通简单无向图（没有自环和重边），共有36条边，则该图至少有（）个点
对于一个非连通简单无向图，共有36条边，要找到最小的顶点数，图必须是非连通的，因此至少有两个连通分量。为了最小化顶点数，应使一个连通分量尽可能大（以容纳更多边），另一个连通分量尽可能小（但至少有一个顶点）。
完全图 (K_k) 的边数为 (\frac{k(k-1)}{2})。需要 (\frac{k(k-1)}{2} \geq 36)，即 (k(k-1) \geq 72)。解得 (k \geq 9)，因为 (9 \times 8 / 2 = 36)。因此，一个连通分量可以是 (K_9)，具有36条边。
另一个连通分量至少有一个顶点（孤立点），贡献0条边。因此，总顶点数为 (9 + 1 = 10)。
如果顶点数小于10（例如9），则图的最大边数为 (\frac{9 \times 8}{2} = 36)，但这是连通图（完全图 (K_9)）。任何非连通图在9个顶点时边数都小于36，无法满足条件。
因此，该图至少有10个点。
组合4位数
由数字1、1、2、4、8、8组成的不同的4位数的个数是多少？
由数字1、1、2、4、8、8组成不同的四位数，需要从这些数字中选取4个数字进行排列。由于数字有重复，需考虑所有可能的多重集组合及其排列数。
可能的多重集组合及其排列数如下：
- {1,2,4,8}：所有数字不同，排列数为 (4! = 24)。
- {1,1,2,4}：有两个1相同，排列数为 4!/2! = 12。
- {1,1,2,8}：有两个1相同，排列数为 4!/2! = 12。
- {1,1,4,8}：有两个1相同，排列数为 4!/2! = 12。
- {1,2,8,8}：有两个8相同，排列数为 4!/2! = 12。
- {1,4,8,8}：有两个8相同，排列数为 4!/2! = 12。
- {2,4,8,8}：有两个8相同，排列数为 4!/2! = 12。
- {1,1,8,8}：有两个1和两个8相同，排列数为 4!/2!*2! = 6.
总排列数为： [ 24 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 6 = 102 ]
因此，不同的四位数的个数为102。
等比数列
有一个等比数列，共有奇数项，其中第一项和最后一项分别是2和118098，中间一项是486，请问一下哪个数是可能的公比?
二分图
二分图是指能将顶点划分为两个部分，每一部分内的顶点间没有边相连的简单无向图。那么24个顶点的二分图至多有多少条边
对于24个顶点的二分图，边数的最大值取决于将顶点划分为两个部分时，两部分大小的乘积。设两部分的大小分别为 a和b，且a + b = 24。边数最大当 a 和 b 尽可能相等，即a = 12 和 b = 12，此时边数为 ab=1212=144。
因此，24个顶点的二分图至多有144条边。
