完全背包和0-1背包问题

一、0-1 背包问题

📖 题目定义

有 n 个物品，每个物品只能用 一次，第 i 个物品有：

• 价值 value[i]
• 重量 weight[i]
  背包最大容量为 W。
  求在不超过背包容量的情况下，能放入的 最大价值。

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🔎 解题思路

1. 状态定义
   dp[i][j] = 前 i 件物品在容量 j 下的最大价值。

2. 状态转移

   • 不选第 i 个物品：dp[i][j] = dp[i-1][j]
   • 选第 i 个物品：dp[i][j] = dp[i-1][j-weight[i]] + value[i]
   • 取最大值。

   dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-weight[i]] + value[i])
   

3. 初始化

   • dp[0][..] = 0 （没有物品时价值为 0）。
   • dp[..][0] = 0 （容量为 0 时价值为 0）。

4. 关键点

   • 为了避免一件物品被用多次，内层容量循环要倒序（一维压缩版时）。

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✅ Java 代码（二维 DP + 一维优化）

class Solution01Knapsack {
    public int knapsack01(int[] weights, int[] values, int W) {
        int n = weights.length;
        int[][] dp = new int[n + 1][W + 1];

        // 二维DP模板
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 0; j <= W; j++) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j]; // 不选
                if (j >= weights[i - 1]) {
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i][j],
                        dp[i - 1][j - weights[i - 1]] + values[i - 1]);
                }
            }
        }
        return dp[n][W];
    }

    // 一维优化版
    public int knapsack01Optimized(int[] weights, int[] values, int W) {
        int n = weights.length;
        int[] dp = new int[W + 1];

        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = W; j >= weights[i]; j--) { // 倒序避免重复选
                dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weights[i]] + values[i]);
            }
        }
        return dp[W];
    }
}

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二、完全背包问题

📖 题目定义

有 n 个物品，每个物品可以用 无限次，第 i 个物品有：

• 价值 value[i]
• 重量 weight[i]
  背包最大容量为 W。
  求在不超过背包容量的情况下，能放入的 最大价值。

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🔎 解题思路

1. 状态定义
   dp[i][j] = 前 i 种物品在容量 j 下的最大价值。

2. 状态转移

   • 不选第 i 个物品：dp[i][j] = dp[i-1][j]
   • 选第 i 个物品（可重复选）：dp[i][j] = dp[i][j-weight[i]] + value[i]
   • 取最大值。

   dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-weight[i]] + value[i])
   

   注意这里和 0-1 背包的区别：是从 dp[i][..] 转移，而不是 dp[i-1][..]。

3. 关键点

   • 为了允许多次使用物品，内层容量循环要正序（一维压缩版时）。

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✅ Java 代码（二维 DP + 一维优化）

class SolutionCompleteKnapsack {
    public int completeKnapsack(int[] weights, int[] values, int W) {
        int n = weights.length;
        int[][] dp = new int[n + 1][W + 1];

        // 二维DP模板
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 0; j <= W; j++) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j]; // 不选
                if (j >= weights[i - 1]) {
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i][j],
                        dp[i][j - weights[i - 1]] + values[i - 1]);
                }
            }
        }
        return dp[n][W];
    }

    // 一维优化版
    public int completeKnapsackOptimized(int[] weights, int[] values, int W) {
        int n = weights.length;
        int[] dp = new int[W + 1];

        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = weights[i]; j <= W; j++) { // 正序允许重复使用
                dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weights[i]] + values[i]);
            }
        }
        return dp[W];
    }
}

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三、0-1 背包 vs 完全背包（对比表）

特性	0-1 背包	完全背包
每件物品次数	只能选 0 或 1 次	可无限次使用
状态转移	dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w] + v)	dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-w] + v)
一维优化循环	倒序 (避免重复使用)	正序 (允许重复使用)

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✅ 总结：

• 0-1 背包：物品只能用一次 → 倒序遍历容量
• 完全背包：物品可无限次使用 → 正序遍历容量

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要不要我帮你再用「零钱兑换」这个经典题（LeetCode 322）把它和 完全背包 的关系对应起来（换个说法就是“求最少硬币数”的完全背包）？