堆排序与获取TOP-K元素：用堆结构解决经典算法问题堆是一种完全二叉树，主要分为小顶堆和大顶堆，可用于实现优先队列。支持

堆

堆（heap）是一种满足特定条件的完全二叉树，主要可分为两种类型

小顶堆（min heap）：任意节点的值其子节点的值。
大顶堆（max heap）：任意节点的值其子节点的值。

堆作为完全二叉树的一个特例，具有以下特性。

最底层节点靠左填充，其他层的节点都被填满。
我们将二叉树的根节点称为“堆顶”，将底层最靠右的节点称为“堆底”。
对于大顶堆（小顶堆），堆顶元素（根节点）的值是最大（最小）的。

堆的常用操作

堆通常用于实现优先队列，大顶堆相当于元素按从大到小的顺序出队的优先队列。

堆的实现

堆的存储与表示

采用数组来存储堆。

使用数组表示二叉树时，元素代表节点值，索引代表节点在二叉树中的位置。节点指针通过索引映射公式来实现。

给定索引 $i$ ，其左子节点的索引为 $2i+1$ ，右子节点的索引为 $2i+2$ ，父节点的索引为 $(i-1)/2$ （向下整除）。当索引越界时，表示空节点或节点不存在。

/* 获取左子节点的索引 */
#left(i) {
    return 2 * i + 1;
}

/* 获取右子节点的索引 */
#right(i) {
    return 2 * i + 2;
}

/* 获取父节点的索引 */
#parent(i) {
    return Math.floor((i - 1) / 2); // 向下整除
}

访问堆顶元素

堆顶元素即为二叉树的根节点，也就是列表的首个元素

/* 访问堆顶元素 */
peek() {
    return this.#maxHeap[0];
}

元素入堆

给定元素 val ，我们首先将其添加到堆底。添加之后，由于 val 可能大于堆中其他元素，堆的成立条件可能已被破坏，因此需要修复从插入节点到根节点的路径上的各个节点，这个操作被称为堆化（heapify）。

考虑从入堆节点开始，从底至顶执行堆化。比较插入节点与其父节点的值，如果插入节点更大，则将它们交换。然后继续执行此操作，从底至顶修复堆中的各个节点，直至越过根节点或遇到无须交换的节点时结束。

设节点总数为 $n$ ，则树的高度为 $O(logn)$ 。由此可知，堆化操作的循环轮数最多为 $O(logn)$ ，元素入堆操作的时间复杂度为 $O(logn)$

/* 元素入堆 */
push(val) {
    // 添加节点
    this.#maxHeap.push(val);
    // 从底至顶堆化
    this.#siftUp(this.size() - 1);
}

/* 从节点 i 开始，从底至顶堆化 */
#siftUp(i) {
    while (true) {
        // 获取节点 i 的父节点
        const p = this.#parent(i);
        // 当“越过根节点”或“节点无须修复”时，结束堆化
        if (p < 0 || this.#maxHeap[i] <= this.#maxHeap[p]) break;
        // 交换两节点
        this.#swap(i, p);
        // 循环向上堆化
        i = p;
    }
}

堆顶元素出堆

交换堆顶元素与堆底元素（交换根节点与最右叶节点）。
交换完成后，将堆底从列表中删除（注意，由于已经交换，因此实际上删除的是原来的堆顶元素）。
从根节点开始，从顶至底执行堆化。

将根节点的值与其两个子节点的值进行比较，将最大的子节点与根节点交换。然后循环执行此操作，直到越过叶节点或遇到无须交换的节点时结束。

元素入堆操作相似，堆顶元素出堆操作的时间复杂度也为 $O(logn)$

/* 元素出堆 */
pop() {
    // 判空处理
    if (this.isEmpty()) throw new Error('堆为空');
    // 交换根节点与最右叶节点（交换首元素与尾元素）
    this.#swap(0, this.size() - 1);
    // 删除节点
    const val = this.#maxHeap.pop();
    // 从顶至底堆化
    this.#siftDown(0);
    // 返回堆顶元素
    return val;
}

/* 从节点 i 开始，从顶至底堆化 */
#siftDown(i) {
    while (true) {
        // 判断节点 i, l, r 中值最大的节点，记为 ma
        const l = this.#left(i),
            r = this.#right(i);
        let ma = i;
        if (l < this.size() && this.#maxHeap[l] > this.#maxHeap[ma]) ma = l;
        if (r < this.size() && this.#maxHeap[r] > this.#maxHeap[ma]) ma = r;
        // 若节点 i 最大或索引 l, r 越界，则无须继续堆化，跳出
        if (ma === i) break;
        // 交换两节点
        this.#swap(i, ma);
        // 循环向下堆化
        i = ma;
    }
}

堆的常见应用

优先队列：堆通常作为实现优先队列的首选数据结构，其入队和出队操作的时间复杂度均为 $O(logn)$ ，而建堆操作为 $O(n)$ ，这些操作都非常高效。
堆排序：给定一组数据，我们可以用它们建立一个堆，然后不断地执行元素出堆操作，从而得到有序数据。
获取最大的 $k$ 个元素：这是一个经典的算法问题，同时也是一种典型应用，例如选择热度前 10 的新闻作为微博热搜，选取销量前 10 的商品等。

建堆操作

借助入堆操作实现

首先创建一个空堆，然后遍历列表，依次对每个元素执行“入堆操作”，即先将元素添加至堆的尾部，再对该元素执行“从底至顶”堆化。

每当一个元素入堆，堆的长度就加一。由于节点是从顶到底依次被添加进二叉树的，因此堆是“自上而下”构建的。

设元素数量为 $n$ ，每个元素的入堆操作使用 $O(logn)$ 时间，因此该建堆方法的时间复杂度为 $O(nlogn)$ 。

通过遍历堆化实现

将列表所有元素原封不动地添加到堆中，此时堆的性质尚未得到满足。
倒序遍历堆（层序遍历的倒序），依次对每个非叶节点执行“从顶至底堆化”。

每当堆化一个节点后，以该节点为根节点的子树就形成一个合法的子堆。由于叶节点没有子节点，因此它们天然就是合法的子堆，无须堆化。

/* 构造方法，建立空堆或根据输入列表建堆 */
constructor(nums) {
    // 将列表元素原封不动添加进堆
    this.#maxHeap = nums === undefined ? [] : [...nums];
    // 堆化除叶节点以外的其他所有节点
    for (let i = this.#parent(this.size() - 1); i >= 0; i--) {
        this.#siftDown(i);
    }
}

复杂度分析

输入列表并建堆的时间复杂度为 $O(n)$

Top-k 问题

给定一个长度为的无序数组 nums ，请返回数组中最大的个元素。

方法一：遍历选择

进行 $k$ 轮遍历，分别在每轮中提取第 $1、2、k$ 大的元素，时间复杂度为 $O(nk)$ 。

此方法只适用于 $k<=n$ 的情况，因为当 $n$ 与 $k$ 比较接近时，其时间复杂度趋向于 $O(n^2)$ ，非常耗时。

当 $k=n$ 时，我们可以得到完整的有序序列，此时等价于“选择排序”算法。

方法二：排序

可以先对数组 nums 进行排序，再返回最右边的 $k$ 个元素，时间复杂度为 $O(nlogn)$ 。

方法三：堆

初始化一个小顶堆，其堆顶元素最小。
先将数组的前 $k$ 个元素依次入堆。
从第 $k+1$ 个元素开始，若当前元素大于堆顶元素，则将堆顶元素出堆，并将当前元素入堆。
遍历完成后，堆中保存的就是最大的 $k$ 个元素。