图
图（graph）是一种非线性数据结构，由顶点（vertex）和边（edge）组成。
图的常见类型与术语
根据边是否具有方向，可分为无向图（undirected graph）和有向图（directed graph）
- 在无向图中，边表示两顶点之间的“双向”连接关系，例如微信或 QQ 中的“好友关系”。
- 在有向图中，边具有方向性，即 和 两个方向的边是相互独立的，例如微博或抖音上的“关注”与“被关注”关系。
根据所有顶点是否连通，可分为连通图（connected graph）和非连通图（disconnected graph）
- 对于连通图，从某个顶点出发，可以到达其余任意顶点。
- 对于非连通图，从某个顶点出发，至少有一个顶点无法到达。
为边添加“权重”变量，从而得到有权图（weighted graph）。例如在《王者荣耀》等手游中，系统会根据共同游戏时间来计算玩家之间的“亲密度”，这种亲密度网络就可以用有权图来表示。
图数据结构包含以下常用术语。
- 邻接（adjacency）：当两顶点之间存在边相连时，称这两顶点“邻接”。
- 路径（path）：从顶点 A 到顶点 B 经过的边构成的序列被称为从 A 到 B 的“路径”。
- 度（degree）：一个顶点拥有的边数。对于有向图，入度（in-degree）表示有多少条边指向该顶点，出度（out-degree）表示有多少条边从该顶点指出。
图的表示
邻接矩阵
设图的顶点数量为 ，邻接矩阵（adjacency matrix）使用一个 大小的矩阵来表示图，每一行（列）代表一个顶点，矩阵元素代表边，用 或 表示两个顶点之间是否存在边。
邻接矩阵具有以下特性。
- 在简单图中，顶点不能与自身相连，此时邻接矩阵主对角线元素没有意义。
- 对于无向图，两个方向的边等价，此时邻接矩阵关于主对角线对称。
- 将邻接矩阵的元素从 1 和 0 替换为权重，则可表示有权图。
使用邻接矩阵表示图时，我们可以直接访问矩阵元素以获取边，因此增删查改操作的效率很高，时间复杂度均为 。然而，矩阵的空间复杂度为 ，内存占用较多。
邻接表
邻接表（adjacency list）使用 个链表来表示图，链表节点表示顶点。第 个链表对应顶点 ，其中存储了该顶点的所有邻接顶点（与该顶点相连的顶点）。
邻接表结构与哈希表中的“链式地址”非常相似，因此我们也可以采用类似的方法来优化效率。比如当链表较长时，可以将链表转化为 AVL 树或红黑树，从而将时间效率从 优化至 ；还可以把链表转换为哈希表，从而将时间复杂度降至 。
图的常见应用
图的基础操作
图的基础操作可分为对“边”的操作和对“顶点”的操作。在“邻接矩阵”和“邻接表”两种表示方法下，实现方式有所不同。
基于邻接矩阵的实现
给定一个顶点数量为 的无向图
- 添加或删除边：直接在邻接矩阵中修改指定的边即可，使用 时间。而由于是无向图，因此需要同时更新两个方向的边。
- 添加顶点：在邻接矩阵的尾部添加一行一列，并全部填 即可，使用 时间。
- 删除顶点：在邻接矩阵中删除一行一列。当删除首行首列时达到最差情况，需要将 个元素“向左上移动”，从而使用 时间。
- 初始化：传入 个顶点，初始化长度为 的顶点列表
vertices，使用 时间；初始化 大小的邻接矩阵adjMat，使用 时间。
/* 基于邻接矩阵实现的无向图类 */
class GraphAdjMat {
vertices; // 顶点列表，元素代表“顶点值”，索引代表“顶点索引”
adjMat; // 邻接矩阵，行列索引对应“顶点索引”
/* 构造函数 */
constructor(vertices, edges) {
this.vertices = [];
this.adjMat = [];
// 添加顶点
for (const val of vertices) {
this.addVertex(val);
}
// 添加边
// 请注意，edges 元素代表顶点索引，即对应 vertices 元素索引
for (const e of edges) {
this.addEdge(e[0], e[1]);
}
}
/* 获取顶点数量 */
size() {
return this.vertices.length;
}
/* 添加顶点 */
addVertex(val) {
const n = this.size();
// 向顶点列表中添加新顶点的值
this.vertices.push(val);
// 在邻接矩阵中添加一行
const newRow = [];
for (let j = 0; j < n; j++) {
newRow.push(0);
}
this.adjMat.push(newRow);
// 在邻接矩阵中添加一列
for (const row of this.adjMat) {
row.push(0);
}
}
/* 删除顶点 */
removeVertex(index) {
if (index >= this.size()) {
throw new RangeError('Index Out Of Bounds Exception');
}
// 在顶点列表中移除索引 index 的顶点
this.vertices.splice(index, 1);
// 在邻接矩阵中删除索引 index 的行
this.adjMat.splice(index, 1);
// 在邻接矩阵中删除索引 index 的列
for (const row of this.adjMat) {
row.splice(index, 1);
}
}
/* 添加边 */
// 参数 i, j 对应 vertices 元素索引
addEdge(i, j) {
// 索引越界与相等处理
if (i < 0 || j < 0 || i >= this.size() || j >= this.size() || i === j) {
throw new RangeError('Index Out Of Bounds Exception');
}
// 在无向图中，邻接矩阵关于主对角线对称，即满足 (i, j) === (j, i)
this.adjMat[i][j] = 1;
this.adjMat[j][i] = 1;
}
/* 删除边 */
// 参数 i, j 对应 vertices 元素索引
removeEdge(i, j) {
// 索引越界与相等处理
if (i < 0 || j < 0 || i >= this.size() || j >= this.size() || i === j) {
throw new RangeError('Index Out Of Bounds Exception');
}
this.adjMat[i][j] = 0;
this.adjMat[j][i] = 0;
}
/* 打印邻接矩阵 */
print() {
console.log('顶点列表 = ', this.vertices);
console.log('邻接矩阵 =', this.adjMat);
}
}
基于邻接表的实现
设无向图的顶点总数为 、边总数为
- 添加边：在顶点对应链表的末尾添加边即可，使用 时间。因为是无向图，所以需要同时添加两个方向的边。
- 删除边：在顶点对应链表中查找并删除指定边，使用 时间。在无向图中，需要同时删除两个方向的边。
- 添加顶点：在邻接表中添加一个链表，并将新增顶点作为链表头节点，使用 时间。
- 删除顶点：需遍历整个邻接表，删除包含指定顶点的所有边，使用 时间。
- 初始化：在邻接表中创建 个顶点和 条边，使用 时间。
/* 基于邻接表实现的无向图类 */
class GraphAdjList {
// 邻接表，key：顶点，value：该顶点的所有邻接顶点
adjList;
/* 构造方法 */
constructor(edges) {
this.adjList = new Map();
// 添加所有顶点和边
for (const edge of edges) {
this.addVertex(edge[0]);
this.addVertex(edge[1]);
this.addEdge(edge[0], edge[1]);
}
}
/* 获取顶点数量 */
size() {
return this.adjList.size;
}
/* 添加边 */
addEdge(vet1, vet2) {
if (
!this.adjList.has(vet1) ||
!this.adjList.has(vet2) ||
vet1 === vet2
) {
throw new Error('Illegal Argument Exception');
}
// 添加边 vet1 - vet2
this.adjList.get(vet1).push(vet2);
this.adjList.get(vet2).push(vet1);
}
/* 删除边 */
removeEdge(vet1, vet2) {
if (
!this.adjList.has(vet1) ||
!this.adjList.has(vet2) ||
vet1 === vet2 ||
this.adjList.get(vet1).indexOf(vet2) === -1
) {
throw new Error('Illegal Argument Exception');
}
// 删除边 vet1 - vet2
this.adjList.get(vet1).splice(this.adjList.get(vet1).indexOf(vet2), 1);
this.adjList.get(vet2).splice(this.adjList.get(vet2).indexOf(vet1), 1);
}
/* 添加顶点 */
addVertex(vet) {
if (this.adjList.has(vet)) return;
// 在邻接表中添加一个新链表
this.adjList.set(vet, []);
}
/* 删除顶点 */
removeVertex(vet) {
if (!this.adjList.has(vet)) {
throw new Error('Illegal Argument Exception');
}
// 在邻接表中删除顶点 vet 对应的链表
this.adjList.delete(vet);
// 遍历其他顶点的链表，删除所有包含 vet 的边
for (const set of this.adjList.values()) {
const index = set.indexOf(vet);
if (index > -1) {
set.splice(index, 1);
}
}
}
/* 打印邻接表 */
print() {
console.log('邻接表 =');
for (const [key, value] of this.adjList) {
const tmp = [];
for (const vertex of value) {
tmp.push(vertex.val);
}
console.log(key.val + ': ' + tmp.join());
}
}
}
效率对比
似乎邻接表（哈希表）的时间效率与空间效率最优。但实际上，在邻接矩阵中操作边的效率更高，只需一次数组访问或赋值操作即可。综合来看，邻接矩阵体现了“以空间换时间”的原则，而邻接表体现了“以时间换空间”的原则
图的遍历
树代表的是“一对多”的关系，而图则具有更高的自由度，可以表示任意的“多对多”关系。因此，我们可以把树看作图的一种特例。显然，树的遍历操作也是图的遍历操作的一种特例。
广度优先遍历
广度优先遍历是一种由近及远的遍历方式，从某个节点出发，始终优先访问距离最近的顶点，并一层层向外扩张。
从左上角顶点出发，首先遍历该顶点的所有邻接顶点，然后遍历下一个顶点的所有邻接顶点，以此类推，直至所有顶点访问完毕。
算法实现¶
BFS 通常借助队列来实现，代码如下所示。队列具有“先入先出”的性质，这与 BFS 的“由近及远”的思想异曲同工。
- 将遍历起始顶点
startVet加入队列，并开启循环。 - 在循环的每轮迭代中，弹出队首顶点并记录访问，然后将该顶点的所有邻接顶点加入到队列尾部。
- 循环步骤
2.，直到所有顶点被访问完毕后结束。
为了防止重复遍历顶点，我们需要借助一个哈希集合 visited 来记录哪些节点已被访问。
/* 广度优先遍历 */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
function graphBFS(graph, startVet) {
// 顶点遍历序列
const res = [];
// 哈希集合，用于记录已被访问过的顶点
const visited = new Set();
visited.add(startVet);
// 队列用于实现 BFS
const que = [startVet];
// 以顶点 vet 为起点，循环直至访问完所有顶点
while (que.length) {
const vet = que.shift(); // 队首顶点出队
res.push(vet); // 记录访问顶点
// 遍历该顶点的所有邻接顶点
for (const adjVet of graph.adjList.get(vet) ?? []) {
if (visited.has(adjVet)) {
continue; // 跳过已被访问的顶点
}
que.push(adjVet); // 只入队未访问的顶点
visited.add(adjVet); // 标记该顶点已被访问
}
}
// 返回顶点遍历序列
return res;
}
复杂度分析
时间复杂度：所有顶点都会入队并出队一次，使用 时间；在遍历邻接顶点的过程中，由于是无向图，因此所有边都会被访问 次，使用 时间；总体使用 时间。
空间复杂度：列表 res ，哈希集合 visited ，队列 que 中的顶点数量最多为 ，使用 空间。
深度优先遍历
深度优先遍历是一种优先走到底、无路可走再回头的遍历方式。
从左上角顶点出发，访问当前顶点的某个邻接顶点，直到走到尽头时返回，再继续走到尽头并返回，以此类推，直至所有顶点遍历完成。
- 直虚线代表向下递推，表示开启了一个新的递归方法来访问新顶点。
- 曲虚线代表向上回溯，表示此递归方法已经返回，回溯到了开启此方法的位置。
算法实现
这种“走到尽头再返回”的算法范式通常基于递归来实现。与广度优先遍历类似，在深度优先遍历中，我们也需要借助一个哈希集合 visited 来记录已被访问的顶点，以避免重复访问顶点。
/* 深度优先遍历 */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
function dfs(graph, visited, res, vet) {
res.push(vet); // 记录访问顶点
visited.add(vet); // 标记该顶点已被访问
// 遍历该顶点的所有邻接顶点
for (const adjVet of graph.adjList.get(vet)) {
if (visited.has(adjVet)) {
continue; // 跳过已被访问的顶点
}
// 递归访问邻接顶点
dfs(graph, visited, res, adjVet);
}
}
/* 深度优先遍历 */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
function graphDFS(graph, startVet) {
// 顶点遍历序列
const res = [];
// 哈希集合，用于记录已被访问过的顶点
const visited = new Set();
dfs(graph, visited, res, startVet);
return res;
}
复杂度分析
时间复杂度：所有顶点都会被访问 次，使用 时间；所有边都会被访问 次，使用 时间；总体使用 时间。
空间复杂度：列表 res ，哈希集合 visited 顶点数量最多为 ，递归深度最大为 ，因此使用 空间。
