从根到叶：二叉树、二叉搜索树与层序/深度优先遍历全解析

小刘鸭地下城
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二叉树

二叉树（binary tree）是一种非线性数据结构，代表“祖先”与“后代”之间的派生关系，体现了“一分为二”的分治逻辑。与链表类似，二叉树的基本单元是节点，每个节点包含值、左子节点引用和右子节点引用。

/* 二叉树节点类 */
class TreeNode {
    val; // 节点值
    left; // 左子节点指针
    right; // 右子节点指针
    constructor(val, left, right) {
        this.val = val === undefined ? 0 : val;
        this.left = left === undefined ? null : left;
        this.right = right === undefined ? null : right;
    }
}

每个节点都有两个引用（指针），分别指向左子节点（left-child node）和右子节点（right-child node），该节点被称为这两个子节点的父节点（parent node）。当给定一个二叉树的节点时，我们将该节点的左子节点及其以下节点形成的树称为该节点的左子树（left subtree），同理可得右子树（right subtree）。

在二叉树中，除叶节点外，其他所有节点都包含子节点和非空子树。

二叉树常见术语

  • 根节点（root node）：位于二叉树顶层的节点，没有父节点。
  • 叶节点（leaf node）：没有子节点的节点，其两个指针均指向 None 。
  • 边（edge）：连接两个节点的线段，即节点引用（指针）。
  • 节点所在的层（level）：从顶至底递增，根节点所在层为 1 。
  • 节点的度（degree）：节点的子节点的数量。在二叉树中，度的取值范围是 0、1、2 。
  • 二叉树的高度（height）：从根节点到最远叶节点所经过的边的数量。
  • 节点的深度（depth）：从根节点到该节点所经过的边的数量。
  • 节点的高度（height）：从距离该节点最远的叶节点到该节点所经过的边的数量。

请注意，我们通常将“高度”和“深度”定义为“经过的边的数量”，但有些题目或教材可能会将其定义为“经过的节点的数量”。在这种情况下，高度和深度都需要加 1 。

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二叉树基本操作

初始化二叉树

与链表类似，首先初始化节点，然后构建引用（指针）。

/* 初始化二叉树 */
// 初始化节点
let n1 = new TreeNode(1),
    n2 = new TreeNode(2),
    n3 = new TreeNode(3),
    n4 = new TreeNode(4),
    n5 = new TreeNode(5);
// 构建节点之间的引用（指针）
n1.left = n2;
n1.right = n3;
n2.left = n4;
n2.right = n5;

插入与删除节点

与链表类似，在二叉树中插入与删除节点可以通过修改指针来实现。

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常见二叉树类型

完美二叉树/满二叉树

完美二叉树（perfect binary tree）所有层的节点都被完全填满。在完美二叉树中，叶节点的度为 00 ，其余所有节点的度都为 22 ；若树的高度为 hh ，则节点总数为 2h+1−12^{h+1}-1 ，呈现标准的指数级关系

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完全二叉树

完全二叉树（complete binary tree）最底层的节点不完全填满，且最底层的节点必须从左至右依次连续填充。美二叉树也是一棵完全二叉树。

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完满二叉树

完满二叉树（full binary tree）除了叶节点之外，其余所有节点都有两个子节点。

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平衡二叉树

平衡二叉树（balanced binary tree）中任意节点的左子树和右子树的高度之差的绝对值不超过 1 。

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二叉树的退化

当二叉树的每层节点都被填满时，达到“完美二叉树”；而当所有节点都偏向一侧时，二叉树退化为“链表”。

  • 完美二叉树是理想情况，可以充分发挥二叉树“分治”的优势。
  • 链表则是另一个极端，各项操作都变为线性操作，时间复杂度退化至  。

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二叉树遍历

从物理结构的角度来看，树是一种基于链表的数据结构，因此其遍历方式是通过指针逐个访问节点。然而，树是一种非线性数据结构，这使得遍历树比遍历链表更加复杂，需要借助搜索算法来实现。

二叉树常见的遍历方式包括层序遍历、前序遍历、中序遍历和后序遍历等。

层序遍历

层序遍历（level-order traversal）从顶部到底部逐层遍历二叉树，并在每一层按照从左到右的顺序访问节点。

层序遍历本质上属于广度优先遍历（breadth-first traversal），也称广度优先搜索（breadth-first search, BFS），它体现了一种“一圈一圈向外扩展”的逐层遍历方式。

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广度优先遍历通常借助“队列”来实现。队列遵循“先进先出”的规则，而广度优先遍历则遵循“逐层推进”的规则，两者背后的思想是一致的。

复杂度分析

  • 时间复杂度为：所有节点被访问一次，使用 O(n)O(n) 时间，其中 nn 为节点数量。
  • 空间复杂度为：在最差情况下，即满二叉树时，遍历到最底层之前，队列中最多同时存在 (n+1)/2(n+1)/2 个节点，占用 O(n)O(n) 空间。

前序、中序、后序遍历

前序、中序和后序遍历都属于深度优先遍历（depth-first traversal），也称深度优先搜索（depth-first search, DFS），它体现了一种“先走到尽头，再回溯继续”的遍历方式。

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/* 前序遍历 */
function preOrder(root) {
    if (root === null) return;
    // 访问优先级：根节点 -> 左子树 -> 右子树
    list.push(root.val);
    preOrder(root.left);
    preOrder(root.right);
}

/* 中序遍历 */
function inOrder(root) {
    if (root === null) return;
    // 访问优先级：左子树 -> 根节点 -> 右子树
    inOrder(root.left);
    list.push(root.val);
    inOrder(root.right);
}

/* 后序遍历 */
function postOrder(root) {
    if (root === null) return;
    // 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根节点
    postOrder(root.left);
    postOrder(root.right);
    list.push(root.val);
}

 复杂度分析

  • 时间复杂度为：所有节点被访问一次，使用 O(n)O(n) 时间。
  • 空间复杂度为：在最差情况下，即树退化为链表时，递归深度达到 nn，系统占用 O(n)O(n) 栈帧空间。

 二叉树数组表示

表示完美二叉树

所有节点按照层序遍历的顺序存储在一个数组中，则每个节点都对应唯一的数组索引。

根据层序遍历的特性，我们可以推导出父节点索引与子节点索引之间的“映射公式”：若某节点的索引为 ii ，则该节点的左子节点索引为 2i+12i+1 ，右子节点索引为 2i+22i+2

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表示任意二叉树

  • 在层序遍历序列中显式地写出所有 None
  • 完全二叉树非常适合使用数组来表示。
  • 所有 None 一定出现在层序遍历序列的末尾

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/* 二叉树的数组表示 */
// 使用 null 来表示空位
let tree = [1, 2, 3, 4, null, 6, 7, 8, 9, null, null, 12, null, null, 15];

/* 数组表示下的二叉树类 */
class ArrayBinaryTree {
    #tree;

    /* 构造方法 */
    constructor(arr) {
        this.#tree = arr;
    }

    /* 列表容量 */
    size() {
        return this.#tree.length;
    }

    /* 获取索引为 i 节点的值 */
    val(i) {
        // 若索引越界，则返回 null ，代表空位
        if (i < 0 || i >= this.size()) return null;
        return this.#tree[i];
    }

    /* 获取索引为 i 节点的左子节点的索引 */
    left(i) {
        return 2 * i + 1;
    }

    /* 获取索引为 i 节点的右子节点的索引 */
    right(i) {
        return 2 * i + 2;
    }

    /* 获取索引为 i 节点的父节点的索引 */
    parent(i) {
        return Math.floor((i - 1) / 2); // 向下整除
    }

    /* 层序遍历 */
    levelOrder() {
        let res = [];
        // 直接遍历数组
        for (let i = 0; i < this.size(); i++) {
            if (this.val(i) !== null) res.push(this.val(i));
        }
        return res;
    }

    /* 深度优先遍历 */
    #dfs(i, order, res) {
        // 若为空位，则返回
        if (this.val(i) === null) return;
        // 前序遍历
        if (order === 'pre') res.push(this.val(i));
        this.#dfs(this.left(i), order, res);
        // 中序遍历
        if (order === 'in') res.push(this.val(i));
        this.#dfs(this.right(i), order, res);
        // 后序遍历
        if (order === 'post') res.push(this.val(i));
    }

    /* 前序遍历 */
    preOrder() {
        const res = [];
        this.#dfs(0, 'pre', res);
        return res;
    }

    /* 中序遍历 */
    inOrder() {
        const res = [];
        this.#dfs(0, 'in', res);
        return res;
    }

    /* 后序遍历 */
    postOrder() {
        const res = [];
        this.#dfs(0, 'post', res);
        return res;
    }
}

优点与局限性

二叉树的数组表示主要有以下优点。

  • 数组存储在连续的内存空间中，对缓存友好，访问与遍历速度较快。
  • 不需要存储指针，比较节省空间。
  • 允许随机访问节点。

然而，数组表示也存在一些局限性。

  • 数组存储需要连续内存空间，因此不适合存储数据量过大的树。
  • 增删节点需要通过数组插入与删除操作实现，效率较低。
  • 当二叉树中存在大量 None 时，数组中包含的节点数据比重较低，空间利用率较低。

二叉搜索树

二叉搜索树（binary search tree）满足以下条件。

  1. 对于根节点，左子树中所有节点的值  根节点的值  右子树中所有节点的值。
  2. 任意节点的左、右子树也是二叉搜索树，即同样满足条件 1. 。

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二叉搜索树的操作

查找节点

给定目标节点值 num ，可以根据二叉搜索树的性质来查找。

  • 若 cur.val < num ，说明目标节点在 cur 的右子树中，因此执行 cur = cur.right 。
  • 若 cur.val > num ，说明目标节点在 cur 的左子树中，因此执行 cur = cur.left 。
  • 若 cur.val = num ，说明找到目标节点，跳出循环并返回该节点。

循环次数最多为二叉树的高度，当二叉树平衡时，使用 O(logn)O(logn) 时间

/* 查找节点 */
search(num) {
    let cur = this.root;
    // 循环查找，越过叶节点后跳出
    while (cur !== null) {
        // 目标节点在 cur 的右子树中
        if (cur.val < num) cur = cur.right;
        // 目标节点在 cur 的左子树中
        else if (cur.val > num) cur = cur.left;
        // 找到目标节点，跳出循环
        else break;
    }
    // 返回目标节点
    return cur;
}

插入节点

  1. 查找插入位置：与查找操作相似，从根节点出发，根据当前节点值和 num 的大小关系循环向下搜索，直到越过叶节点（遍历至 None ）时跳出循环。
  2. 在该位置插入节点：初始化节点 num ，将该节点置于 None 的位置。

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  • 二叉搜索树不允许存在重复节点，否则将违反其定义。因此，若待插入节点在树中已存在，则不执行插入，直接返回。
  • 为了实现插入节点，我们需要借助节点 pre 保存上一轮循环的节点。这样在遍历至 None 时，我们可以获取到其父节点，从而完成节点插入操作。

与查找节点相同，插入节点使用 O(logn)O(logn) 时间。

/* 插入节点 */
insert(num) {
    // 若树为空，则初始化根节点
    if (this.root === null) {
        this.root = new TreeNode(num);
        return;
    }
    let cur = this.root,
        pre = null;
    // 循环查找，越过叶节点后跳出
    while (cur !== null) {
        // 找到重复节点，直接返回
        if (cur.val === num) return;
        pre = cur;
        // 插入位置在 cur 的右子树中
        if (cur.val < num) cur = cur.right;
        // 插入位置在 cur 的左子树中
        else cur = cur.left;
    }
    // 插入节点
    const node = new TreeNode(num);
    if (pre.val < num) pre.right = node;
    else pre.left = node;
}

 删除节点

根据目标节点的子节点数量，分 0、1 和 2 三种情况，执行对应的删除节点操作

当待删除节点的度为 0 时，表示该节点是叶节点，可以直接删除

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当待删除节点的度为 1 时，将待删除节点替换为其子节点即可

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当待删除节点的度为 2 时，我们无法直接删除它，而需要使用一个节点替换该节点。右子树的最小节点或左子树的最大节点。

假设我们选择右子树的最小节点（中序遍历的下一个节点）

  1. 找到待删除节点在“中序遍历序列”中的下一个节点，记为 tmp 。
  2. 用 tmp 的值覆盖待删除节点的值，并在树中递归删除节点 tmp 。

删除节点操作同样使用 O(logn)O(logn) 时间

/* 删除节点 */
remove(num) {
    // 若树为空，直接提前返回
    if (this.root === null) return;
    let cur = this.root,
        pre = null;
    // 循环查找，越过叶节点后跳出
    while (cur !== null) {
        // 找到待删除节点，跳出循环
        if (cur.val === num) break;
        pre = cur;
        // 待删除节点在 cur 的右子树中
        if (cur.val < num) cur = cur.right;
        // 待删除节点在 cur 的左子树中
        else cur = cur.left;
    }
    // 若无待删除节点，则直接返回
    if (cur === null) return;
    // 子节点数量 = 0 or 1
    if (cur.left === null || cur.right === null) {
        // 当子节点数量 = 0 / 1 时， child = null / 该子节点
        const child = cur.left !== null ? cur.left : cur.right;
        // 删除节点 cur
        if (cur !== this.root) {
            if (pre.left === cur) pre.left = child;
            else pre.right = child;
        } else {
            // 若删除节点为根节点，则重新指定根节点
            this.root = child;
        }
    }
    // 子节点数量 = 2
    else {
        // 获取中序遍历中 cur 的下一个节点
        let tmp = cur.right;
        while (tmp.left !== null) {
            tmp = tmp.left;
        }
        // 递归删除节点 tmp
        this.remove(tmp.val);
        // 用 tmp 覆盖 cur
        cur.val = tmp.val;
    }
}

中序遍历有序

二叉搜索树的中序遍历序列是升序的

二叉搜索树中获取有序数据仅需 O(n)O(n) 时间，无须进行额外的排序操作，非常高效。

二叉搜索树的效率

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二叉搜索树常见应用

  • 用作系统中的多级索引，实现高效的查找、插入、删除操作。
  • 作为某些搜索算法的底层数据结构。
  • 用于存储数据流，以保持其有序状态。

AVL 树

在多次插入和删除操作后，二叉搜索树可能退化为链表。在这种情况下，所有操作的时间复杂度将从 O(logn)O(logn) 劣化为 O(n)O(n) 。

AVL 树既是二叉搜索树，也是平衡二叉树，同时满足这两类二叉树的所有性质，因此是一种平衡二叉搜索树（balanced binary search tree）。

节点高度

叶节点的高度为 0 ，而空节点的高度为 -1

/* AVL 树节点类 */
class TreeNode {
  val; // 节点值
  height; //节点高度
  left; // 左子节点指针
  right; // 右子节点指针
  constructor(val, left, right, height) {
    this.val = val === undefined ? 0 : val;
    this.height = height === undefined ? 0 : height;
    this.left = left === undefined ? null : left;
    this.right = right === undefined ? null : right;
  }
  /* 获取节点高度 */
  height(node) {
    // 空节点高度为 -1 ，叶节点高度为 0
    return node === null ? -1 : node.height;
  }

  /* 更新节点高度 */
  #updateHeight(node) {
    // 节点高度等于最高子树高度 + 1
    node.height = Math.max(this.height(node.left), this.height(node.right)) + 1;
  }
}

节点平衡因子

节点的平衡因子（balance factor）定义为节点左子树的高度减去右子树的高度，同时规定空节点的平衡因子为 0

/* 获取平衡因子 */
balanceFactor(node) {
    // 空节点平衡因子为 0
    if (node === null) return 0;
    // 节点平衡因子 = 左子树高度 - 右子树高度
    return this.height(node.left) - this.height(node.right);
}

AVL 树旋转

AVL 树的特点在于“旋转”操作，它能够在不影响二叉树的中序遍历序列的前提下，使失衡节点重新恢复平衡。换句话说，旋转操作既能保持“二叉搜索树”的性质，也能使树重新变为“平衡二叉树” 。

我们将平衡因子绝对值  的节点称为“失衡节点”。根据节点失衡情况的不同，旋转操作分为四种：右旋、左旋、先右旋后左旋、先左旋后右旋。

右旋

从底至顶看，二叉树中首个失衡节点是“节点 3”。我们关注以该失衡节点为根节点的子树，将该节点记为 node ，其左子节点记为 child ，执行“右旋”操作。完成右旋后，子树恢复平衡，并且仍然保持二叉搜索树的性质。

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当节点 child 有右子节点（记为 grand_child ）时，需要在右旋中添加一步：将 grand_child 作为 node 的左子节点。

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/* 右旋操作 */
#rightRotate(node) {
    const child = node.left;
    const grandChild = child.right;
    // 以 child 为原点，将 node 向右旋转
    child.right = node;
    node.left = grandChild;
    // 更新节点高度
    this.#updateHeight(node);
    this.#updateHeight(child);
    // 返回旋转后子树的根节点
    return child;
}

左旋

右旋和左旋操作在逻辑上是镜像对称的，它们分别解决的两种失衡情况也是对称的。

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/* 左旋操作 */
#leftRotate(node) {
    const child = node.right;
    const grandChild = child.left;
    // 以 child 为原点，将 node 向左旋转
    child.left = node;
    node.right = grandChild;
    // 更新节点高度
    this.#updateHeight(node);
    this.#updateHeight(child);
    // 返回旋转后子树的根节点
    return child;
}

先左旋后右旋

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先右旋后左旋

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旋转的选择

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/* 执行旋转操作，使该子树重新恢复平衡 */
#rotate(node) {
    // 获取节点 node 的平衡因子
    const balanceFactor = this.balanceFactor(node);
    // 左偏树
    if (balanceFactor > 1) {
        if (this.balanceFactor(node.left) >= 0) {
            // 右旋
            return this.#rightRotate(node);
        } else {
            // 先左旋后右旋
            node.left = this.#leftRotate(node.left);
            return this.#rightRotate(node);
        }
    }
    // 右偏树
    if (balanceFactor < -1) {
        if (this.balanceFactor(node.right) <= 0) {
            // 左旋
            return this.#leftRotate(node);
        } else {
            // 先右旋后左旋
            node.right = this.#rightRotate(node.right);
            return this.#leftRotate(node);
        }
    }
    // 平衡树，无须旋转，直接返回
    return node;
}

AVL 树常用操作

 插入节点

在 AVL 树中插入节点后，从该节点到根节点的路径上可能会出现一系列失衡节点。因此，我们需要从这个节点开始，自底向上执行旋转操作，使所有失衡节点恢复平衡。

/* 插入节点 */
insert(val) {
    this.root = this.#insertHelper(this.root, val);
}

/* 递归插入节点（辅助方法） */
#insertHelper(node, val) {
    if (node === null) return new TreeNode(val);
    /* 1. 查找插入位置并插入节点 */
    if (val < node.val) node.left = this.#insertHelper(node.left, val);
    else if (val > node.val)
        node.right = this.#insertHelper(node.right, val);
    else return node; // 重复节点不插入，直接返回
    this.#updateHeight(node); // 更新节点高度
    /* 2. 执行旋转操作，使该子树重新恢复平衡 */
    node = this.#rotate(node);
    // 返回子树的根节点
    return node;
}

删除节点

二叉搜索树的删除节点方法的基础上，需要从底至顶执行旋转操作，使所有失衡节点恢复平衡。

/* 删除节点 */
remove(val) {
    this.root = this.#removeHelper(this.root, val);
}

/* 递归删除节点（辅助方法） */
#removeHelper(node, val) {
    if (node === null) return null;
    /* 1. 查找节点并删除 */
    if (val < node.val) node.left = this.#removeHelper(node.left, val);
    else if (val > node.val)
        node.right = this.#removeHelper(node.right, val);
    else {
        if (node.left === null || node.right === null) {
            const child = node.left !== null ? node.left : node.right;
            // 子节点数量 = 0 ，直接删除 node 并返回
            if (child === null) return null;
            // 子节点数量 = 1 ，直接删除 node
            else node = child;
        } else {
            // 子节点数量 = 2 ，则将中序遍历的下个节点删除，并用该节点替换当前节点
            let temp = node.right;
            while (temp.left !== null) {
                temp = temp.left;
            }
            node.right = this.#removeHelper(node.right, temp.val);
            node.val = temp.val;
        }
    }
    this.#updateHeight(node); // 更新节点高度
    /* 2. 执行旋转操作，使该子树重新恢复平衡 */
    node = this.#rotate(node);
    // 返回子树的根节点
    return node;
}

查找节点

AVL 树的节点查找操作与二叉搜索树一致

AVL 树典型应用

  • 组织和存储大型数据，适用于高频查找、低频增删的场景。
  • 用于构建数据库中的索引系统。
  • 红黑树也是一种常见的平衡二叉搜索树。相较于 AVL 树，红黑树的平衡条件更宽松，插入与删除节点所需的旋转操作更少，节点增删操作的平均效率更高。
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