【一看就会一写就废 指间算法】不同路径 —— 动态规划

指尖划过的轨迹，藏着最细腻的答案~

题目：

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。

问总共有多少条不同的路径？

示例 1：

输入：m = 3, n = 7
输出：28

示例 2：

输入：m = 3, n = 2
输出：3
解释：
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。

1. 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向下

示例 3：

输入：m = 7, n = 3
输出：28

示例 4：

输入：m = 3, n = 3
输出：6

提示：

1 <= m, n <= 100
题目数据保证答案小于等于 $2 * 10^9$

分析：

动态规划一般分为3步走：

• 确定dp数组含义： 我们定义dp[i][j]为机器人到达下标(i,j)时的路径数量。

• 状态转移方程： 寻找子问题，对于dp[i][j]来说，由于机器人只能从上面dp[i-1][j]和左边dp[i][j-1]过来，因此，到达(i,j)时的最多的路径数量即为二者中和，因此状态转移方程为： $dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]$

• 初始化： 对于第0列与第0行，上面状态转移方程不合法，因此我们需要初始化，机器人只能向右或下走，因此到达第0行或第0列只有一条路径，全部初始化为1。

AC代码：

class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        vector<vector<int>> dp(m, vector<int>(n, 0));
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            dp[i][0] = 1;
        }

        for (int j = 0; j < n; j++) {
            dp[0][j] = 1;
        }

        for (int i = 1; i < m; i++) {
            for (int j = 1; j < n; j ++) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
            }
        }

        return dp[m-1][n-1];
    }
};