数分统计学

呵呵呵呵贺
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描述统计

集中趋势

均值 中位数 众数

离散趋势

方差：（x-均值）^2/N，意味着整组值偏离平均值的程度

标准差：方差的平方根，是衡量变量值围绕其平均值变化的指标。低标准差意味着，这些变量值越接近平均值，高标准差意味着更广的分布，标准差通常用于判断哪些值是异常值，那些不是。四分位差 变异系数

统计量

z score:（x-μ）/σ，表示变量到样本均值之间的距离是多少个标准差，是在符合正态分布的情况下，衡量不同事件的标准化方法。将 z-score 和表中对应，可得出样本在整个分布中的水平。

举例：小王的高数成绩为 86，假设高数考试平均分为 60，标准差为 20，并且符合正态分布，通过计算即可知道z分位数为 (86-60)/20 = 1.3，通过下图查表，即超过了 90.32% 的同学。怎么样？是不是已经特别厉害了

分布形态

偏态 峰态

推断统计

通过样本数据去推断总体数据的统计方法

变量

分类变量：无序分类变量，有序分类变量 数值型变量：连续型，离散型

概率

随机事件：随机现象某种可能的观察结果称为随机事件

概率：度量随机事件发生可能性的大小

小概率事件:统计学当中，发生的概率小于等于0.05，我们就认为他是一个小概率事件 随机变量：随机事件的数量化。离散型随机变量和连续型随机变量。

随机抽样：等概率抽取。

总体参数：刻画总体特征的指标称为总体参数，例如总体均值，总体标准差，总体比例

统计量：刻画样本特征的指标称为统计量，例如样本均值（x_bar），样本标准差（s），样本比例（p）

抽样误差：随机抽样造成的样本统计量与总体指标之间的差异称为抽样误差

概率分布

随机变量的概率存在一定的规律，这个概率分布分离散型和连续型。离散型随机变量的概率分布分为二项分布和泊松分布，连续型随机变量的概率分布分为正态分布。

二项分布

伯努利试验是单次随机试验，只有两种结果（1或0）。二项分布是n次伯努利试验。

二项分布公式

P(X=k)=(nk)pk(1−p)n−kP(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}

Excel计算方式=BINOM.DIST(number_s,trials,probability_s,cumulative) number_s 实验成功次数，Trials独立实验次数，Probability_s每次实验成功的概率，cumulative，如果cumulative为TRUE,则BINOM.DIST返回累积分布函数，即最多存在number_s次成功的概率，如果为FALSE,则返回概率密度函数，即存在number_s次成功的概率。

泊松分布

在指定时间范围内或一定体积内，某一时间出现的次数的分布，他们对应的随机变量的概率分布为泊松分布。例如：某企业每月某设备出现故障的次数，单位时间内到达某一服务台需要服务的顾客人数。二项分布的极限。

excel计算方式:poisson.dist(x,mean,culmative)

正态分布

标准正态分布：均值为0，标准差为1的正态分布N（0，1）的正态分布 excel进行标准化正态分布：norm.s.dist() 连续型随机变量概率计算：直方图的面积

抽样分布

统计推断：通过样本数据对总体进行推测。 多次抽样之后，可以进行统计量分析，可以证明是服从正态分布的概率分布。 总体标准误差：由总体标准差/根号n得出 大数定理（中心极限定理）：当样本充分大时，样本均值的抽样分布近似服从总体均值μ，方差为σ^2/n的正态分布。

t分布

若随机变量X服从标准正态分布N（0，1），随机变量Y服从自由度为n的卡方分布，且X和Y独立，则服从t分布。样本量足够大时（自由度n足够大），随机变量的分布也是趋近于正态分布的。

简单来说，t分布就是标准正态分布除以均方的根，主要处理小样本问题，样本量小于30。均方是一组数的平方和的平均值.

卡方分布

卡方分布在实际应用中主要是解决方差相关的问题

  1. 设X～N(μ,σ^2)，则z=X-μ/σ~N(0,1)
  2. 设Y=z^2,则Y服从自由度为1的x^2分布，即Y~x^2(1)
  3. sum(x−μ/σ)2sum(x-μ/σ)^2~x^2(n) 总而言之，卡方分布就是多个标准正态分布的平方和。

卡方分布的特点：

  • 分布的变量值始终为正
  • 分布的形状取决于其自由度n的大小，通常为不对称的正偏分布，但随着自由度的增大逐渐区域对称。（样本量足大时，趋近于正态分布）。
  • 期望为n，方差为2n

F分布

概念：两个分别服从自由度为m和n的卡方分布的比值，就得到F（m,n）的F分布。 运用于方差分析和线性回归分析

参数估计

点估计：通过样本均值这个点，推估总体均值，模糊不严谨。
区间估计：根据响应标准误的大小，按照一定的可信度给出的一个总体参数可能的取值范围。该区间被称为可信区间。具体计算根据标准正态分布的面积规律，应当由95%的样本均数在该范围内。 置信水平：置信区间中包含总体参数真值的次数所占的比例。95%

graph TD
待估参数 --> 均值 --> 大样本,大于30 -->z分布
待估参数 --> 均值 --> 小样本,小30 -->正态总体σ已知 -->z分布
待估参数 --> 比例 --> 大样本 -->z分布
待估参数 --> 均值 --> 小样本,小30 -->正态总体σ未知 -->t分布
待估参数 --> 方差 --> 卡方分布
待估参数 --> 方差比 -->F分布

假设检验

概念：

流程：

建立假设，原假设H0，备择假设H1 进行一次随机抽样 计算最终结果，跟z值比较或者p<0.05（α）此次事件是小概率事件，不可能发生。

p值是从H0假设的总体中抽出现有样本（及更极端情况）的概率，即p值

单双侧检验

单侧检验：强调一方的检测，比如显著“大于”，“小于”

双侧检验：双边只强调差异，不强调方向

第一类错误/第二类错误/置信区间

第一类错误：消极的被判断成积极的。 α 为犯第一类错误的概率，把没有犯第一类错误的概率 1-α 称为置信水平。一般情况下，α取值为0.05。

第二类错误：积极的被判断成消极的。β 为犯第二类错误的概率，把统计功效定义为1-β，一般情况下，β取值0.2，则统计功效的取值为0.8。

reference： bilibili——ailsa

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