高频做市模型的演进高频做市模型的演进：从 Avellaneda–Stoikov 到 GLFT 一、做市问题的基本建模做

高频做市模型的演进：从 Avellaneda–Stoikov 到 GLFT

做市商的核心任务是在提供流动性的同时管理存货风险。在连续时间下，这一问题可以形式化为一个随机最优控制问题：

状态变量：
- $S_t$ ：资产价格（通常建模为布朗运动）；
- $q_t$ ：存货头寸；
- $X_t$ ：现金账户。
控制变量：买卖报价，即 $\delta^a, \delta^b$ （分别是 ask/bid 相对中间价的偏移量）。
目标函数：最大化效用（或长期平均效用）：
$\sup_{\delta^a,\delta^b} \; \mathbb{E}\big[ U(X_T + q_T S_T)\big].$

早期的 Ho–Stoll (1981) 模型强调存货风险补偿，而 2008 年 Avellaneda–Stoikov (AS) 模型首次将此思想与限价订单簿微观结构结合，奠定了现代高频做市的理论基础。

AS 模型设定做市商效用为指数型：

u(t,x,q,S) = \sup_{\delta^a,\delta^b} \; \mathbb{E}_t\left[ -\exp\!\left(-\gamma (X_T + q_T S_T)\right)\right].

资产价格： $dS_t = \sigma dW_t$ ；订单流强度：

\lambda^b(\delta^b) = A e^{-\kappa \delta^b}, \quad \lambda^a(\delta^a) = A e^{-\kappa \delta^a}.

在动态规划原理下，价值函数满足 HJB 方程：

\begin{aligned} \partial_t u + \tfrac{1}{2}\sigma^2 \partial_{SS}u &+ \max_{\delta^a} \lambda^a(\delta^a)\Big(u(t,x+\delta^a,q-1,S)-u(t,x,q,S)\Big) \\ &+ \max_{\delta^b} \lambda^b(\delta^b)\Big(u(t,x-\delta^b,q+1,S)-u(t,x,q,S)\Big) = 0, \end{aligned}

终端条件： $u(T,x,q,S) = -\exp(-\gamma(x+qS))$ 。

由于指数效用函数的特殊性，引入变换：

u(t,x,q,S) = -\exp\!\Big(-\gamma\,(x+qS+\theta(t,q))\Big).

代入 HJB 后化简为：

-\partial_t \theta(t,q) = \tfrac{1}{2}\gamma\sigma^2 q^2 + \max_{\delta^a}\frac{A}{\gamma} e^{-\kappa \delta^a}\!\left(1 - e^{-\gamma(\delta^a + \theta(t,q-1)-\theta(t,q))}\right) + \max_{\delta^b}\frac{A}{\gamma} e^{-\kappa \delta^b}\!\left(1 - e^{-\gamma(-\delta^b + \theta(t,q+1)-\theta(t,q))}\right).

通过一阶条件得到最优报价：

r_t = S_t - q_t \, \gamma \sigma^2 (T-t).

解释：持仓 $q_t$ 带来未来波动风险，做市商通过调整中枢价格来引导订单流。

\text{spread}^* = \gamma \sigma^2 (T-t) + \frac{2}{\gamma} \ln\!\left(1+\frac{\gamma}{\kappa}\right).

价差由风险补偿项 $\gamma\sigma^2(T-t)$ 与 流动性溢价项 $\tfrac{2}{\gamma}\ln(1+\gamma/\kappa)$ 共同构成。

AS 模型提供显式的闭式解，直接将存货风险、波动性与流动性联系起来。

2013 年，Guéant–Lehalle–Fernandez-Tapia (GLFT) 推出新的框架，将问题改写为 无限时间域下的优化，避免了 AS 模型中临近终点价差趋于无穷大的问题。

最大化长期平均收益：

\sup_{\delta^a,\delta^b} \lim_{T\to\infty} \frac{1}{T} \mathbb{E}\!\left[\int_0^T \Big(\delta^a dN^a_t + \delta^b dN^b_t\Big) - \tfrac{1}{2}\alpha(q_t) dt\right].

其中 $\alpha(q)$ 为存货风险惩罚函数。

存货惩罚可设为非线性：
$\alpha(q) = c_1 q^2 + c_2 |q|^3,$
对大额头寸施加额外惩罚。
订单强度允许市场偏向：
$\lambda^a(\delta) = A e^{-\kappa(\delta+\eta)}, \quad \lambda^b(\delta) = A e^{-\kappa(\delta-\eta)}.$

设价值函数：

V(x,q,s) = x + qs - v(q),

其中 $v(q)$ 为库存惩罚函数。代入 HJB 得到稳态方程：

\overline{g} - \tfrac{1}{2}\alpha(q) = \max_{\delta^a} \lambda^a(\delta^a)\Big(\delta^a + v(q)-v(q-1)\Big) + \max_{\delta^b} \lambda^b(\delta^b)\Big(\delta^b + v(q)-v(q+1)\Big),

其中 $\overline{g}$ 是长期平均收益率。

最优报价由一阶条件给出：

\delta^{a*}(q) = \tfrac{1}{\kappa} - \big(v(q)-v(q-1)\big), \quad \delta^{b*}(q) = \tfrac{1}{\kappa} - \big(v(q)-v(q+1)\big).

于是得到一个关于 $v(q)$ 的非线性差分方程，进一步近似为：

\frac{d^2 v}{dq^2} + \Phi(v,q) = 0.

计算复杂度从 $O(N^4)$ 降至 $O(N)$ ，支持微秒级报价。

参数静态化假设：GLFT 假定 $\sigma, \kappa, \eta$ 等参数恒定不变。但是尤其是在加密市场，这些参数会随着不同的市场模式发生显著变化，特别是重大事件带来的流动性极具变化下，参数更是会瞬间失效。
单资产框架的局限：GLFT 主要聚焦于单一资产的存货控制。在跨品种、跨市场的做市中，多资产头寸产生的协方差风险未被纳入。
博弈缺失：GLFT 将订单流视为外生随机过程，未考虑其他高频交易者的战略行为。在对抗性市场中，GLFT 策略可能被刻意狙击。

Ho, T., & Stoll, H. (1981). Optimal Dealer Pricing under Transactions and Return Uncertainty. JFE.
Avellaneda, M., & Stoikov, S. (2008). High-frequency trading in a limit order book. Quant Finance.
Guéant, O., Lehalle, C. A., & Fernandez-Tapia, J. (2013). Dealing with the inventory risk: a solution to the market making problem. MFE.

此文章内容由云梦量化科技高频策略研究员Jervis Zang创作投稿。