需要考虑左右极限的几种常见函数形式总的来说，当自变量 $x$ 从不同方向趋近于目标点（如 $x_0$ 或 $\infty

总的来说，当自变量 $x$ 从不同方向趋近于目标点（如 $x_0$ 或 $\infty$ ）时，函数表达式或行为发生本质变化的情况下，就需要分别考虑左极限和右极限。

以下是需要重点考虑左右极限的几种常见函数形式：

这是最典型、最常见的情况。分段函数在分段点左右的表达式通常不同，因此必须分别考察左极限和右极限。

形式：函数在点 $x = x_0$ 的左右两侧由不同的解析式定义。 $f(x) = \begin{cases} \text{表达式A}, & x < x_0 \\ \text{表达式B}, & x = x_0 \\ \text{表达式C}, & x > x_0 \end{cases}$
原因：要判断函数在 $x_0$ 处的极限 $\lim\limits_{x \to x_0} f(x)$ 是否存在，必须检查左极限 $\lim\limits_{x \to x_0^-} f(x)$ 和右极限 $\lim\limits_{x \to x_0^+} f(x)$ 是否存在且相等。
例子：
$f(x) = \begin{cases} x + 1, & x < 1 \\ 3, & x = 1 \\ x^2, & x > 1 \end{cases}$
求 $\lim\limits_{x \to 1} f(x)$ 时：
- 左极限： $\lim\limits_{x \to 1^-} f(x) = \lim\limits_{x \to 1^-} (x + 1) = 2$
- 右极限： $\lim\limits_{x \to 1^+} f(x) = \lim\limits_{x \to 1^+} x^2 = 1$ 左右极限不相等，故 $\lim\limits_{x \to 1} f(x)$ 不存在。

绝对值函数本质上是分段函数，因为 $|x| = \begin{cases} x, & x \ge 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases}$ 。当绝对值内的表达式在目标点变号时，就需要分左右讨论。

形式：函数中包含 $|x - a|$ , $|g(x)|$ 等形式，且 $g(x)$ 在 $x \to x_0$ 时趋于 0。
原因：绝对值的存在导致函数在 $x_0$ 两侧的行为不同。
例子：求 $\lim\limits_{x \to 0} \frac{|x|}{x}$
- 左极限 ( $x \to 0^-$ )： $\frac{|x|}{x} = \frac{-x}{x} = -1$ ，故极限为 $-1$ 。
- 右极限 ( $x \to 0^+$ )： $\frac{|x|}{x} = \frac{x}{x} = 1$ ，故极限为 $1$ 。左右极限不相等，故原极限不存在。

指数函数 $e^u$ 在 $u \to \infty$ 和 $u \to -\infty$ 时的行为截然不同，而 $\frac{1}{x}$ 在 $x \to 0$ 时正好会产生这种差异。

形式： $e^{\frac{1}{x}},\ e^{\frac{1}{x-a}},\ e^{\frac{1}{g(x)}}$ （其中 $g(x) \to 0$ ）。
原因：
- 当 $x \to 0^+$ 时， $\frac{1}{x} \to +\infty$ ，则 $e^{\frac{1}{x}} \to +\infty$ 。
- 当 $x \to 0^-$ 时， $\frac{1}{x} \to -\infty$ ，则 $e^{\frac{1}{x}} \to 0$ 。
例子：求 $\lim\limits_{x \to 0} e^{\frac{1}{x}}$
- 左极限： $\lim\limits_{x \to 0^-} e^{\frac{1}{x}} = e^{-\infty} = 0$ 。
- 右极限： $\lim\limits_{x \to 0^+} e^{\frac{1}{x}} = e^{+\infty} = +\infty$ 。左右极限不相等（一个为 0，一个为无穷大），故原极限不存在。

反三角函数如 $\arctan(x)$ 和 $\operatorname{arccot}(x)$ 在 $x \to \pm\infty$ 时趋向于不同的值。

形式： $\arctan(\frac{1}{x}),\ \arctan(\frac{1}{x-a}),\ \operatorname{arccot}(\frac{1}{x})$ 等。
原因：
- 当 $x \to 0^+$ 时， $\frac{1}{x} \to +\infty$ ，则 $\arctan(\frac{1}{x}) \to \frac{\pi}{2}$ 。
- 当 $x \to 0^-$ 时， $\frac{1}{x} \to -\infty$ ，则 $\arctan(\frac{1}{x}) \to -\frac{\pi}{2}$ 。
例子：求 $\lim\limits_{x \to 0} \arctan(\frac{1}{x})$
- 左极限： $-\frac{\pi}{2}$ 。
- 右极限： $\frac{\pi}{2}$ 。左右极限不相等，故原极限不存在。

虽然这不完全是“左右极限”的传统概念（因为 $\infty$ 是一个趋势），但思想是完全一致的：考察从不同方向趋近时，函数的行为是否相同。

形式： $e^x,\ \arctan(x),\ \sqrt{x^2 + 1}$ 等函数在 $x \to +\infty$ 和 $x \to -\infty$ 时的行为不同。
原因：许多函数在正负无穷大的趋势不对称。
例子：
1. $\lim\limits_{x \to \infty} e^x$ ： $x \to +\infty$ 时极限为 $+\infty$ ； $x \to -\infty$ 时极限为 0。通常我们说 $\lim\limits_{x \to \infty} e^x$ 不存在。
2. $\lim\limits_{x \to \infty} \arctan(x)$ ： $x \to +\infty$ 时极限为 $\frac{\pi}{2}$ ； $x \to -\infty$ 时极限为 $-\frac{\pi}{2}$ 。故 $\lim\limits_{x \to \infty} \arctan(x)$ 不存在。
3. $\lim\limits_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x}$ ：这是一个经典例子。
  - 当 $x \to +\infty$ ， $\frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x} = \frac{\sqrt{x^2(1 + 1/x^2)}}{x} = \frac{|x|\sqrt{1 + 1/x^2}}{x} = \frac{x\sqrt{1 + 1/x^2}}{x} = 1$ 。
  - 当 $x \to -\infty$ ， $\frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x} = \frac{|x|\sqrt{1 + 1/x^2}}{x} = \frac{(-x)\sqrt{1 + 1/x^2}}{x} = -1$ 。（因为 $x < 0$ , $|x| = -x$ ）左右趋势不相等，故原极限不存在。

核心判断原则：当你怀疑函数在目标点的左侧邻域和右侧邻域可能有不同的行为或定义时，就应该果断地分别计算其左极限和右极限。这是一个非常重要的数学思维习惯。

需要考虑左右极限的几种常见函数形式